Exercice 3 - Probabilités conditionnelles · Bac Mathématiques Asie 2024 (jour 1)

Exercice 3 (5 points)

Dans la revue Lancet Public Health, les chercheurs affirment qu'au 11 mai 2020, 5,7% des adultes français avaient déjà été infectés par la COVID 19.

Source: https://www.thelancet.com/journals/lanpub/article/PIIS2468-2667(21)00064-5/fulltext

On se servira de cette donnée pour les parties A et B de cet exercice.

Partie B

Un test a été mis en place: celui-ci permet de déterminer (même longtemps après l'infection), si une personne a ou non déjà été infectée par la COVID 19.

Si le test est positif, cela signifie que la personne a déjà été infectée par la COVID 19.

Deux paramètres permettent de caractériser ce test: sa sensibilité et sa spécificité.

La sensibilité d'un test est la probabilité qu'il soit positif sachant que la personne a été infectée par la maladie. (Il s'agit donc d'un vrai positif).

La spécificité d'un test est la probabilité que le test soit négatif sachant que la personne n'a pas été infectée par la maladie. (Il s'agit donc d'un vrai négatif).

Le fabricant du test fournit les caractéristiques suivantes:

Sa sensibilité est de 0,8.

Sa spécificité est de 0,99.

On prélève un individu soumis au test dans la population française adulte au 11 mai 2020.

On note $T$ l'événement « le test réalisé est positif ».

1.

Compléter l'arbre des probabilités ci-dessous avec les données de l'énoncé:

$P(I) =$

$P(\overline{I}) =$

$P_I(T) =$

$P_I(\overline{T}) =$

$P_{\overline{I}}(T) =$

$P_{\overline{I}}(\overline{T}) =$

2.

Montrer que $P(T) = 0,05503$.

3.

Quelle est la probabilité qu'un individu ait été infecté sachant que son test est positif ? On donnera une valeur approchée à $10^{-4}$ près du résultat.

Partie C

On considère un groupe d'une population d'un autre pays soumis au même test de sensibilité 0,8 et de spécificité 0,99.

Dans ce groupe la proportion d'individus ayant un test positif est de 29,44%.

On choisit au hasard un individu de ce groupe; quelle est la probabilité qu'il ait été infecté ?