Exercice 4 · Bac Mathématiques Asie jour 1 - Remplacement 2025

Thème : Probabilités conditionnelles et indépendance · Tiré du sujet Jour 1 - Remplacement (2025)

Énoncé

Exercice 4 (5,25 points)

Soit $n$ un entier naturel non nul.

Dans le cadre d'une expérience aléatoire, on considère une suite d'évènements $A_n$ et on note $p_n$ la probabilité de l'évènement $A_n$ .

Pour les parties A et B de l'exercice, on considère que:

- Si l'évènement $A_n$ est réalisé alors l'évènement $A_{n+1}$ est réalisé avec une probabilité 0,3.

- Si l'évènement $A_n$ n'est pas réalisé alors l'évènement $A_{n+1}$ est réalisé avec une probabilité 0,7.

On suppose que $p_1 = 1$ .

Partie A:

Recopier et compléter les probabilités sur les branches de l'arbre des probabilités ci-dessous:

$P(A_2) =$

$P_{A_2}(A_3) =$

$P_{A_2}(\overline{A_3}) =$

$P_{\overline{A_2}}(A_3) =$

$P_{\overline{A_2}}(\overline{A_3}) =$

Montrer que $p_3 = 0,58$ .

Calculer la probabilité conditionnelle $P_{A_3}(A_2)$ , arrondir le résultat à $10^{-2}$ près.

Partie B:

Dans cette partie, on étudie la suite $(p_n)$ avec $n \ge 1$ .

Recopier et compléter les probabilités sur les branches de l'arbre des probabilités ci-dessous:

$P(\overline{A_n}) =$

$P_{A_n}(A_{n+1}) =$

$P_{A_n}(\overline{A_{n+1}}) =$

$P_{\overline{A_n}}(A_{n+1}) =$

$P_{\overline{A_n}}(\overline{A_{n+1}}) =$

2.a.

Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul: $p_{n+1} = -0,4\,p_n + 0,7$ .

On considère la suite $(u_n)$ , définie pour tout entier naturel $n$ non nul par: $u_n = p_n - 0,5$ .

2.b.

Montrer que $(u_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

2.c.

En déduire l'expression de $u_n$ , puis de $p_n$ en fonction de $n$ .

2.d.

Déterminer la limite de la suite $(p_n)$ .

Partie C:

Soit $x \in ]0\,;\,1[$ , on suppose que $P_{\overline{A_n}}(A_{n+1}) = P_{A_n}(\overline{A_{n+1}}) = x$ . On rappelle que $p_1 = 1$ .

Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul: $p_{n+1} = (1 - 2x)p_n + x$ .

Démontrer par récurrence sur $n$ que, pour tout entier naturel $n$ non nul:

$p_n = \frac{1}{2}(1 - 2x)^{n-1} + \frac{1}{2}$

Montrer que la suite $(p_n)$ est convergente et donner sa limite.

Énoncé: Exercice 4 · Bac Mathématiques Asie jour 1 - Remplacement 2025

Corrigé

Corrigé établi d’après les éléments de correction officiels

Partie A - 1. $P(A_2)$

Réponse : 0,3

Partie A - 1. $P_{A_2}(A_3)$

Réponse : 0,3

Partie A - 1. $P_{A_2}(\overline{A_3})$

Réponse : 0,7

Partie A - 1. $P_{\overline{A_2}}(A_3)$

Réponse : 0,7

Partie A - 1. $P_{\overline{A_2}}(\overline{A_3})$

Réponse : 0,3

Partie A - 2. Montrer que $p_3 = 0,58$ .

Réponse : $p_3 = P(A_3) = P(A_2 \cap A_3) + P(\overline{A_2} \cap A_3) = 0,3 \times 0,3 + 0,7 \times 0,7 = 0,09 + 0,49 = 0,58$

Partie A - 3. Calculer la probabilité conditionnelle $P_{A_3}(A_2)$ , arrondir le résultat à $10^{-2}$ près.

Réponse : 0,16

Partie B - 1. $P(\overline{A_n})$

Réponse : $1 - p_n$

Partie B - 1. $P_{A_n}(A_{n+1})$

Réponse : 0,3

Partie B - 1. $P_{A_n}(\overline{A_{n+1}})$

Réponse : 0,7

Partie B - 1. $P_{\overline{A_n}}(A_{n+1})$

Réponse : 0,7

Partie B - 1. $P_{\overline{A_n}}(\overline{A_{n+1}})$

Réponse : 0,3

Partie B - 2.a. Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul : $p_{n+1} = -0,4\,p_n + 0,7$ .

Réponse : $p_{n+1} = P(A_{n+1}) = p_n \times 0,3 + (1 - p_n) \times 0,7 = 0,3p_n + 0,7 - 0,7p_n = -0,4p_n + 0,7$

Partie B - 2.b. Raison de $(u_n)$

Réponse : -0,4

Partie B - 2.b. Premier terme $u_1$

Réponse : 0,5

Partie B - 2.b. Justification que $(u_n)$ est géométrique

Réponse : $u_{n+1} = -0,4 u_n$

Partie B - 2.c. Expression de $u_n$ en fonction de $n$

Réponse : $0,5(-0,4)^{n-1}$

Partie B - 2.c. Expression de $p_n$ en fonction de $n$

Réponse : $0,5(-0,4)^{n-1} + 0,5$

Partie B - 2.d. Déterminer la limite de la suite $(p_n)$ .

Réponse : 0,5

Partie C - 1. Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul : $p_{n+1} = (1 - 2x)p_n + x$ .

Réponse : $p_{n+1} = (1 - x)p_n + x(1 - p_n) = (1 - 2x)p_n + x$

Partie C - 2. Démontrer par récurrence sur $n$ que $p_n = \frac{1}{2}(1 - 2x)^{n-1} + \frac{1}{2}$ .

Réponse : Initialisation : pour $n=1$ , $\frac{1}{2}(1-2x)^0 + \frac{1}{2} = 1 = p_1$ . Hérédité : si vraie au rang $n$ , alors $p_{n+1} = (1-2x)p_n + x = (1-2x)(\frac{1}{2}(1-2x)^{n-1} + \frac{1}{2}) + x = \frac{1}{2}(1-2x)^n + \frac{1}{2}$ .

Partie C - 3. Limite de $(p_n)$

Réponse : 0,5

Partie C - 3. Justification de la convergence

Réponse : $-1 < 1 - 2x < 1$

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