Exercice au choix - Exercice B · Bac Mathématiques Asie 2021 (jour 1)

1. (a) Déterminer une solution particulière constante de cette équation différentielle.

Réponse : 1

1. (b) En déduire l'ensemble des solutions de cette équation différentielle.

Réponse : $1 + k\mathrm{e}^{-0{,}4t}$

2. Déterminer la fonction g, solution de cette équation différentielle, qui vérifie g(0) = 10.

Réponse : $1 + 9\mathrm{e}^{-0{,}4t}$

1. Déterminer la limite de p en +∞.

Réponse : 1

2. Montrer que p'(t) = \frac{3,6\mathrm{e}^{-0,4t}}{(1 + 9\mathrm{e}^{-0,4t})^2} pour tout t ∈ [0; +∞[.

Réponse : $p'(t) = -\frac{g'(t)}{(g(t))^2} = -\frac{-3{,}6\mathrm{e}^{-0{,}4t}}{(1 + 9\mathrm{e}^{-0{,}4t})^2} = \frac{3{,}6\mathrm{e}^{-0{,}4t}}{(1 + 9\mathrm{e}^{-0{,}4t})^2}$

3. (a) Montrer que l'équation p(t) = 1/2 admet une unique solution α sur [0; +∞[.

Réponse : $p$ est continue et strictement croissante sur $[0; +\infty[$ avec $p(0) = 0{,}1$ et $\lim_{t \to +\infty} p(t) = 1$. Comme $\frac{1}{2} \in [0{,}1; 1[$, d'après le théorème de la bijection (ou corollaire des valeurs intermédiaires), l'équation admet une unique solution $\alpha$.

3. (b) Déterminer une valeur approchée de α à 10^{-1} près à l'aide d'une calculatrice.

Réponse : 5{,}5

1. Vérifier que p est solution de l'équation différentielle y' = 0,4y(1 - y) avec la condition initiale y(0) = 1/10.

Réponse : $0{,}4 p(t)(1 - p(t)) = 0{,}4 \frac{1}{1 + 9\mathrm{e}^{-0{,}4t}} \left(1 - \frac{1}{1 + 9\mathrm{e}^{-0{,}4t}}\right) = \frac{3{,}6\mathrm{e}^{-0{,}4t}}{(1 + 9\mathrm{e}^{-0{,}4t})^2} = p'(t)$ et $p(0) = \frac{1}{1 + 9} = \frac{1}{10}$.

2. Interpréter dans ce contexte la limite de la question II 1 puis la valeur approchée de α de la question II 3(b) ainsi que la valeur p(0).

Réponse : - $\lim_{t \to +\infty} p(t) = 1$ : à long terme, 100 % des écoles auront accès à internet. - $\alpha \approx 5{,}5$ : au milieu de l'année 2025, 50 % des écoles auront accès à internet. - $p(0) = \frac{1}{10}$ : en 2020, 10 % des écoles ont accès à internet.