Exercice 1 - Primitives · Bac Mathématiques Asie 2024 (jour 1)

Exercice 1 (5 points)

Partie A

On considère une fonction $f$ définie sur $[0\,;\,+\infty[$, représentée par la courbe $C$ ci-dessous.

La droite $T$ est tangente à la courbe $C$ au point $\mathrm{A}$ d'abscisse $\dfrac{5}{2}$.

Partie B

Dans cette partie, on considère que la fonction $f$, définie et deux fois dérivable sur $[0\,;\,+\infty[$, est définie par $f(x) = (4x - 2)\mathrm{e}^{-x+1}$.

On notera respectivement $f'$ et $f''$ la dérivée et la dérivée seconde de la fonction $f$.

Partie A

4. La courbe $C_3$ ci-contre peut-elle être la représentation graphique sur $[0; +\infty[$ d'une primitive de la fonction $f$ ? Justifier.

Partie B

2. On considère une fonction $F$ définie sur $[0; +\infty[$ par $F(x) = (ax + b)\mathrm{e}^{-x+1}$, où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.

a)

Déterminer les valeurs des réels $a$ et $b$ telles que la fonction $F$ soit une primitive de la fonction $f$ sur $[0; +\infty[$.