Exercice 3 · Bac Mathématiques Asie 2026 (jour 2)

Exercice 3

[5 points]

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère les points

$$A(1; 2; 3), \quad B(-1; 3; 1), \quad C(2; 1; 6) \quad \text{et} \quad D(3; -2; -1).$$

1. a.

Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan.

1. b.

Montrer que le vecteur $\vec{n}(1; 4; 1)$ est normal au plan $(ABC)$.

1. c.

En déduire une équation cartésienne du plan $(ABC)$.

2. a.

Déterminer une équation paramétrique de la droite $(d)$, perpendiculaire au plan $(ABC)$ et passant par le point $D$.

2. b.

Déterminer les coordonnées du point $H$ qui est le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(ABC)$.

2. c.

En déduire que la distance du point $D$ au plan $(ABC)$ est égale à $3\sqrt{2}$.

3. a.

Montrer que $\cos(\widehat{BAC}) = -\dfrac{3\sqrt{11}}{11}$.

3. b.

En déduire la valeur exacte de $\sin(\widehat{BAC})$.

3. c.

Montrer que l'aire du triangle $ABC$ vaut $\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$.

4.

Déterminer le volume du tétraèdre $ABCD$.

On rappelle que le volume $\mathcal{V}$ d'un tétraèdre est donné par la formule suivante: $\mathcal{V} = \dfrac{1}{3} \times \mathcal{B} \times h$, où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur qui lui est associée.