Exercice 2 · Bac Mathématiques Asie 2024 (jour 1)

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ d'unité 1 cm, on considère les points:

$$A(3; -1; 1)\quad;\quad B(4; -1; 0)\quad;\quad C(0; 3; 2)\quad;\quad D(4; 3; -2)\quad\text{et}\quad S(2; 1; 4)$$

Dans cet exercice on souhaite montrer que $SABDC$ est une pyramide à base $ABDC$ trapézoïdale de sommet $S$, afin de calculer son volume.

1.

Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.

2.

a.

Montrer que les points $A$, $B$, $C$ et $D$ sont coplanaires.

b.

Montrer que le quadrilatère $ABDC$ est un trapèze de bases $[AB]$ et $[CD]$.

On rappelle qu'un trapèze est un quadrilatère ayant deux côtés opposés parallèles appelés bases.

3.

a.

Démontrer que le vecteur $\vec{n}(2; 1; 2)$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.

b.

En déduire une équation cartésienne du plan $(ABC)$.

c.

Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par le point $S$ et orthogonale au plan $(ABC)$.

d.

On note $I$ le point d'intersection de la droite $\Delta$ et du plan $(ABC)$. Montrer que le point $I$ a pour coordonnées $\left(\frac{2}{3}; \frac{1}{3}; \frac{8}{3}\right)$, puis montrer que $SI = 2\text{ cm}$.

4.

a.

Vérifier que le projeté orthogonal $H$ du point $B$ sur la droite $(CD)$ a pour coordonnées $H(3; 3; -1)$ et montrer que $HB = 3\sqrt{2}\text{ cm}$.

b.

Calculer la valeur exacte de l'aire du trapèze $ABDC$.

On rappelle que l'aire d'un trapèze est donnée par la formule $\mathcal{A} = \frac{b + B}{2} \times h$ où $b$ et $B$ sont les longueurs des bases du trapèze et $h$ sa hauteur.

5.

Déterminer le volume de la pyramide $SABDC$.

On rappelle que le volume $\mathcal{V}$ d'une pyramide est donné par la formule $\mathcal{V} = \frac{1}{3} \times \text{aire de la base} \times \text{hauteur}$.