Exercice 4 · Bac Mathématiques Asie 2024 (jour 2)

Exercice 4 (5 points)

Dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ de l'espace, on considère le plan $(P)$ d'équation:

$$(P): 2x + 2y - 3z + 1 = 0$$

On considère les trois points $A$, $B$ et $C$ de coordonnées:

$$A(1; 0; 1), \quad B(2; -1; 1) \quad \text{et} \quad C(-4; -6; 5)$$

Le but de cet exercice est d'étudier le rapport des aires entre un triangle et son projeté orthogonal dans un plan.

Partie A

1.

Pour chacun des points $A$, $B$ et $C$, vérifier s'il appartient au plan $(P)$.

2.

Montrer que le point $C'(0; -2; -1)$ est le projeté orthogonal du point $C$ sur le plan $(P)$.

3.

Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(AB)$.

4.

On admet l'existence d'un unique point $H$ vérifiant les deux conditions:

$$\begin{cases} H \in (AB) \\ (AB) \text{ et } (HC) \text{ sont orthogonales.} \end{cases}$$

Déterminer les coordonnées du point $H$.

Partie B

On admet que les coordonnées du vecteur $\vec{HC}$ sont: $\vec{HC} \begin{pmatrix} -\frac{11}{2} \\[4pt] -\frac{11}{2} \\[4pt] 4 \end{pmatrix}$.

1.

Calculer la valeur exacte de $\|\vec{HC}\|$.

2.

Soit $S$ l'aire du triangle $ABC$. Déterminer la valeur exacte de $S$.

Partie C

On admet que $HC' = \sqrt{\frac{17}{2}}$.

1.

Soit $\alpha = \widehat{CHC'}$. Déterminer la valeur de $\cos(\alpha)$.

2.

a.

Montrer que les droites $(C'H)$ et $(AB)$ sont perpendiculaires.

b.

Calculer $S'$ l'aire du triangle $ABC'$, on donnera la valeur exacte.

c.

Donner une relation entre $S$, $S'$ et $\cos(\alpha)$.