Exercice 3 · Bac Mathématiques Asie 2025 (jour 2)

Affirmation 1 : La droite $(d)$ est orthogonale au plan $P$ et coupe ce plan en $H$.

Réponse : Vraie

Justification Affirmation 1

Réponse : La droite $(d)$ a pour vecteur directeur $\vec{u}\left(\frac{1}{3}, \frac{1}{2}, 1\right) = \frac{1}{6}\vec{n}_P$ où $\vec{n}_P(2, 3, 6)$ est normal à $P$, donc $(d) \perp P$. De plus, pour $t=6$, on retrouve les coordonnées de $H(-6, 2, 2)$, et $2(-6)+3(2)+6(2)-6=0$ donc $H \in P$.

Affirmation 2 : La mesure en degré de l'angle $\widehat{DCH}$, arrondie à $10^{-1}$, est $17,3^{\circ}$.

Réponse : Fausse

Justification Affirmation 2

Réponse : $\cos(\widehat{DCH}) = \frac{\vec{CD} \cdot \vec{CH}}{\|\vec{CD}\| \times \|\vec{CH}\|} = \frac{31}{\sqrt{13}\sqrt{89}} \approx 0,911$, d'où $\widehat{DCH} \approx 24,1^{\circ} \neq 17,3^{\circ}$.

Affirmation 3 : Les plans $P$ et $P'$ sont sécants et leur intersection est la droite $\Delta$ dont une représentation paramétrique est : $\begin{cases} x = 3 - 3t \\ y = 0 \\ z = t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}$.

Réponse : Vraie

Justification Affirmation 3

Réponse : Les vecteurs normaux $\vec{n}_P(2, 3, 6)$ et $\vec{n}_{P'}(1, -2, 3)$ ne sont pas colinéaires donc les plans sont sécants. Pour tout point de $\Delta$, $2(3-3t)+3(0)+6(t)-6=0$ et $(3-3t)-2(0)+3(t)-3=0$, donc $\Delta$ est bien contenue dans les deux plans.

Affirmation 4 : Le point $J$ est le projeté orthogonal du point $H$ sur la droite $(CD)$.

Réponse : Vraie

Justification Affirmation 4

Réponse : On montre que $J \in (CD)$ (avec $\vec{CJ} = \frac{31}{13}\vec{CD}$) et que $\vec{HJ} \cdot \vec{CD} = \frac{24}{13}(-3) + \frac{36}{13}(2) + (-2)(0) = 0$, donc $(HJ) \perp (CD)$.