Exercice 2 · Bac Mathématiques Asie jour 1 - Remplacement 2025

Exercice 2 (5 points)

« Dans un triangle non équilatéral, la droite d'Euler est la droite qui passe par les trois points suivants:

le centre du cercle circonscrit à ce triangle (cercle passant par les trois sommets de ce triangle).

le centre de gravité de ce triangle situé à l'intersection des médianes de ce triangle.

l'orthocentre de ce triangle situé à l'intersection des hauteurs de ce triangle ».

Le but de l'exercice est d'étudier un exemple de droite d'Euler.

On considère un cube $ABCDEFGH$ de côté une unité.

L'espace est muni du repère orthonormé $(A; \vec{AB}; \vec{AD}; \vec{AE})$.

On note $I$ le milieu du segment $[AB]$ et $J$ le milieu du segment $[BG]$.

1.

Donner sans justification les coordonnées des points $A$, $B$, $G$, $I$ et $J$:

$A$:

$B$:

$G$:

$I$:

$J$:

2.

a)

Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(AJ)$.

b)

Montrer qu'une représentation paramétrique de la droite $(IG)$ est: $$\begin{cases} x = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}t \\ y = t \\ z = t \end{cases} \quad \text{avec } t \in \mathbb{R}.$$

c)

Démontrer que les droites $(AJ)$ et $(IG)$ sont sécantes en un point $S$ de coordonnées $S\left(\frac{2}{3}; \frac{1}{3}; \frac{1}{3}\right)$.

3.

a)

Montrer que le vecteur $\vec{n}(0; -1; 1)$ est normal au plan $(ABG)$.

b)

En déduire une équation cartésienne du plan $(ABG)$:

c)

On admet qu'une représentation paramétrique de la droite $(d)$ de vecteur directeur $\vec{n}$ et passant par le point $K\left(\frac{1}{2}; 0; 1\right)$ est: $$\begin{cases} x = \frac{1}{2} \\ y = -t \\ z = 1 + t \end{cases} \quad \text{avec } t \in \mathbb{R}.$$

Montrer que cette droite $(d)$ coupe le plan $(ABG)$ en un point $L$ de coordonnées $L\left(\frac{1}{2}; \frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right)$.

d)

Montrer que le point $L$ est équidistant des points $A$, $B$ et $G$.

4.

Montrer que le triangle $ABG$ est rectangle en $B$.

5.

a)

Identifier le centre du cercle circonscrit, le centre de gravité et l'orthocentre du triangle $ABG$ (aucune justification n'est attendue):

b)

Vérifier par un calcul que ces trois points sont effectivement alignés.