Exercice 3 · Bac Mathématiques Asie 2022 (jour 1)

Principaux domaines abordés:

Manipulation des vecteurs, des droites et des plans de l'espace.

Orthogonalité et distances dans l'espace.

Représentations paramétriques et équations cartésiennes.

Le solide $ABCDEFGH$ est un cube. On se place dans le repère orthonormé $(A; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ de l'espace dans lequel les coordonnées des points $B$, $D$ et $E$ sont: $B(3; 0; 0)$, $D(0; 3; 0)$ et $E(0; 0; 3)$.

On considère les points $P(0; 0; 1)$, $Q(0; 2; 3)$ et $R(1; 0; 3)$.

1.

Placer les points $P$, $Q$ et $R$ sur la figure en ANNEXE qui sera à rendre avec la copie.

2.

Montrer que le triangle $PQR$ est isocèle en $R$.

3.

Justifier que les points $P$, $Q$ et $R$ définissent un plan.

4.

On s'intéresse à présent à la distance entre le point $E$ et le plan $(PQR)$.

(a)

Montrer que le vecteur $\vec{u}(2; 1; -1)$ est normal au plan $(PQR)$.

(b)

En déduire une équation cartésienne du plan $(PQR)$.

(c)

Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(d)$ passant par le point $E$ et orthogonale au plan $(PQR)$.

$x(t) =$

$y(t) =$

$z(t) =$

, avec $t \in \mathbb{R}$

(d)

Montrer que le point $L\left(\frac{2}{3}; \frac{1}{3}; \frac{8}{3}\right)$ est le projeté orthogonal du point $E$ sur le plan $(PQR)$.

(e)

Déterminer la distance entre le point $E$ et le plan $(PQR)$.

5.

En choisissant le triangle $EQR$ comme base, montrer que le volume du tétraèdre $EPQR$ est $\frac{2}{3}$.

On rappelle que le volume $V$ d'un tétraèdre est donné par la formule: $V = \frac{1}{3} \times \text{aire d'une base} \times \text{hauteur correspondante}$.

6.

Trouver, à l'aide des deux questions précédentes, l'aire du triangle $PQR$.