Exercice 2 · Bac Mathématiques Asie 2021 (jour 1)

Partie I - 1. Donner les coordonnées du point P.

Réponse : $(6; 0; 0)$

Partie I - 1. Donner les coordonnées du point Q.

Réponse : $(0; 0; 6)$

Partie I - 2. Montrer que le vecteur n(1; -5; 1) est un vecteur normal au plan (PQR).

Réponse : $\vec{PQ} = (-6; 0; 6)$ et $\vec{PR} = (2; 2; 8)$ sont deux vecteurs directeurs non colinéaires du plan $(PQR)$. $$\vec{PQ}\cdot\vec{n} = -6\times 1 - 5\times 0 + 6\times 1 = 0$$ $$\vec{PR}\cdot\vec{n} = 2\times 1 + 2\times (-5) + 8\times 1 = 0$$ Le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires de $(PQR)$, donc $\vec{n}$ est un vecteur normal au plan $(PQR)$.

Partie I - 3. Justifier qu'une équation cartésienne du plan (PQR) est x - 5y + z - 6 = 0.

Réponse : $\vec{n}(1; -5; 1)$ étant normal à $(PQR)$, une équation cartésienne est de la forme $x - 5y + z + d = 0$ avec $d\in\mathbb{R}$. Comme $P(6; 0; 0) \in (PQR)$, ses coordonnées vérifient l'équation : $6 - 0 + 0 + d = 0 \iff d = -6$. L'équation est donc $x - 5y + z - 6 = 0$.

Partie II - 1. Justifier que les coordonnées du point $\Omega$ sont (4; 4; 4).

Réponse : $\Omega$ est le centre du cube, donc le milieu de la diagonale $[EC]$. Comme $E(0; 0; 8)$ et $C(8; 8; 0)$, $\Omega$ a pour coordonnées $\left(\frac{8+0}{2}; \frac{0+8}{2}; \frac{8+0}{2}\right) = (4; 4; 4)$.

Partie II - 2. Donner une représentation paramétrique de la droite d perpendiculaire au plan (PQR) et passant par $\Omega$.

Réponse : $$\begin{cases} x = 4 + t \\ y = 4 - 5t \\ z = 4 + t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$$

Partie II - 3. Montrer que les coordonnées du point L sont (14/3; 2/3; 14/3).

Réponse : $L$ est le point d'intersection de $d$ et $(PQR)$. En remplaçant les coordonnées paramétriques de $d$ dans l'équation de $(PQR)$ : $$(4 + t) - 5(4 - 5t) + (4 + t) - 6 = 0 \iff 27t - 18 = 0 \iff t = \frac{2}{3}$$ Pour $t = \frac{2}{3}$, on obtient $x = 4 + \frac{2}{3} = \frac{14}{3}$, $y = 4 - 5\times\frac{2}{3} = \frac{2}{3}$, $z = 4 + \frac{2}{3} = \frac{14}{3}$. Donc $L\left(\frac{14}{3}; \frac{2}{3}; \frac{14}{3}\right)$.

Partie II - 4. Calculer la distance du point $\Omega$ au plan (PQR).

Réponse : $2\sqrt{3}\text{ cm}$