Exercice 1 · Bac Mathématiques Asie 2022 (jour 2)

Principaux domaines abordés:

Manipulation des vecteurs, des droites et des plans de l'espace.

Orthogonalité et distances dans l'espace.

Représentations paramétriques et équations cartésiennes.

Dans un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ de l'espace, on considère les points $A(-3; 1; 3)$, $B(2; 2; 3)$, $C(1; 7; -1)$, $D(-4; 6; -1)$ et $K(-3; 14; 14)$.

1.

(a)

Calculer les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$, $\vec{DC}$ et $\vec{AD}$.

(b)

Montrer que le quadrilatère $ABCD$ est un rectangle.

(c)

Calculer l'aire du rectangle $ABCD$.

2.

(a)

Justifier que les points $A$, $B$ et $D$ définissent un plan.

(b)

Montrer que le vecteur $\vec{n}(-2; 10; 13)$ est un vecteur normal au plan $(ABD)$.

(c)

En déduire une équation cartésienne du plan $(ABD)$.

3.

(a)

Donner une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ orthogonale au plan $(ABD)$ et qui passe par le point $K$.

(b)

Déterminer les coordonnées du point $I$, projeté orthogonal du point $K$ sur le plan $(ABD)$.

(c)

Montrer que la hauteur de la pyramide $KABCD$ de base $ABCD$ et de sommet $K$ vaut $\sqrt{273}$.

4.

Calculer le volume $V$ de la pyramide $KABCD$.

On rappelle que le volume $V$ d'une pyramide est donné par la formule:

$$V = \frac{1}{3} \times \text{aire de la base} \times \text{hauteur}$$