Exercice 3 · Bac Mathématiques Asie 2026 (jour 1)

1. a. Montrer que les points B, C et E ne sont pas alignés.

Réponse : $\vec{BC} = (2; 1; -2)$ et $\vec{BE} = (1; -4; -1)$ ne sont pas colinéaires car leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles, donc $B$, $C$ et $E$ ne sont pas alignés.

1. b. Justifier que le vecteur AF est normal au plan (BCE).

Réponse : $\vec{AF} \cdot \vec{BC} = 0$ et $\vec{AF} \cdot \vec{BE} = 0$, donc $\vec{AF}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(BCE)$.

1. c. En déduire qu'une équation cartésienne du plan (BCE) est x + z - 4 = 0.

Réponse : $x + z - 4 = 0$

2. a. Montrer que le point G n'appartient pas au plan (BCE).

Réponse : $x_G + z_G - 4 = 5 + 2 - 4 = 3 \neq 0$, donc $G \notin (BCE)$.

2. b. Montrer que les vecteurs BE, BC et AG ne sont pas coplanaires.

Réponse : $\vec{AF} \cdot \vec{AG} = 18 \neq 0$, donc $\vec{AG}$ n'est pas orthogonal à $\vec{AF}$ et n'est pas coplanaire avec $\vec{BE}$ et $\vec{BC}$.

2. c. En déduire que la droite (AG) et le plan (BCE) sont sécants.

Réponse : Le vecteur directeur $\vec{AG}$ n'est pas coplanaire avec les vecteurs directeurs du plan $(BCE)$, donc $(AG)$ n'est pas parallèle à $(BCE)$ et ils sont sécants.

3. a. Montrer qu'une représentation paramétrique de la droite (AG) est donnée par le système.

Réponse : La droite $(AG)$ passe par $A(0; 0; 1)$ et a pour vecteur directeur $\vec{AG}(5; 1; 1)$.

3. b. En déduire les coordonnées du point P.

Réponse : P(5/2; 1/2; 3/2)

3. c. Montrer que le point P est le milieu du segment [EC].

Réponse : $\left(\frac{x_E + x_C}{2}; \frac{y_E + y_C}{2}; \frac{z_E + z_C}{2}\right) = \left(\frac{5}{2}; \frac{1}{2}; \frac{3}{2}\right) = P$.

4. Déterminer l'intersection des plans (BCE) et (ACG).

Réponse : (CP) / (CE)