Exercice 1 · Bac Mathématiques Asie 2023 (jour 2)

On considère deux cubes ABCDEFGH et BKLCFJMG positionnés comme sur la figure suivante:

Le point I est le milieu de [EF].

Dans toute la suite de l'exercice, on se place dans le repère orthonormé $(A; \vec{AB}; \vec{AD}; \vec{AE})$.

Ainsi, par exemple, les points F, G et J ont pour coordonnées $F(1; 0; 1)$, $G(1; 1; 1)$ et $J(2; 0; 1)$.

1.

Montrer que le volume du tétraèdre FIGB est égal à $\frac{1}{12}$ d'unité de volume.

On rappelle que le volume $V$ d'un tétraèdre est donné par la formule:

$$V = \frac{1}{3} \times \text{aire d'une base} \times \text{hauteur correspondante}.$$

2.

Déterminer les coordonnées du point I.

3.

Montrer que le vecteur $\vec{DJ}$ est un vecteur normal au plan (BIG).

4.

Montrer qu'une équation cartésienne du plan (BIG) est $2x - y + z - 2 = 0$.

5.

Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$, orthogonale à (BIG) et passant par F.

6.

(a)

La droite $d$ coupe le plan (BIG) au point L.

Montrer que les coordonnées du point L sont $\left(\frac{2}{3}; \frac{1}{6}; \frac{5}{6}\right)$.

(b)

Calculer la longueur FL.

(c)

Déduire des questions précédentes l'aire du triangle IGB.