Exercice 2 · Bac Mathématiques Asie 2021 (jour 2)

Thème : Géométrie dans l'espace : vecteurs, droites, plans, produit scalaire et repérage · Tiré du sujet Jour 2 (2021)

Énoncé

EXERCICE 2 commun à tous les candidats (5 points)

On considère un pavé droit ABCDEFGHABCDEFGH tel que AB=AD=1AB = AD = 1 et AE=2AE = 2, représenté ci-dessous.

Le point II est le milieu du segment [AE][AE]. Le point KK est le milieu du segment [DC][DC]. Le point LL est défini par: DL⃗=32AI⃗\vec{DL} = \frac{3}{2}\vec{AI}. NN est le projeté orthogonal du point DD sur le plan (AKL)(AKL).

On se place dans le repère orthonormé (A;AB⃗;AD⃗;AI⃗)(A; \vec{AB}; \vec{AD}; \vec{AI}).

On admet que le point LL a pour coordonnées (0;1;32)(0; 1; \frac{3}{2}).

1.

Déterminer les coordonnées des vecteurs AK⃗\vec{AK} et AL⃗\vec{AL}.

2.

a)

Démontrer que le vecteur n⃗\vec{n} de coordonnées (6;−3;2)(6; -3; 2) est un vecteur normal au plan (AKL)(AKL).

b)

En déduire une équation cartésienne du plan (AKL)(AKL).

c)

Déterminer un système d'équations paramétriques de la droite Δ\Delta passant par DD et perpendiculaire au plan (AKL)(AKL).

d)

En déduire que le point NN de coordonnées (1849;4049;649)(\frac{18}{49}; \frac{40}{49}; \frac{6}{49}) est le projeté orthogonal du point DD sur le plan (AKL)(AKL).

On rappelle que le volume V\mathcal{V} d'un tétraèdre est donné par la formule: V=13×(aire de la base)×hauteur\mathcal{V} = \frac{1}{3} \times (\text{aire de la base}) \times \text{hauteur}.

3.

a)

Calculer le volume du tétraèdre ADKLADKL en utilisant le triangle ADKADK comme base.

b)

Calculer la distance du point DD au plan (AKL)(AKL).

c)

Déduire des questions précédentes l'aire du triangle AKLAKL.

Énoncé: Exercice 2 · Bac Mathématiques Asie 2021 (jour 2)

Corrigé

Corrigé établi d’après les éléments de correction officiels

1. Déterminer les coordonnées du vecteur AK⃗\vec{AK}

Réponse : (1/2;1;0)(1/2; 1; 0)

1. Déterminer les coordonnées du vecteur AL⃗\vec{AL}

Réponse : (0;1;3/2)(0; 1; 3/2)

2. (a) Démontrer que le vecteur n⃗\vec{n} de coordonnées (6;−3;2)(6; -3; 2) est un vecteur normal au plan (AKL)(AKL)

Réponse : AK⃗⋅n⃗=1/2×6+1×(−3)+0×2=3−3+0=0\vec{AK} \cdot \vec{n} = 1/2 \times 6 + 1 \times (-3) + 0 \times 2 = 3 - 3 + 0 = 0 et AL⃗⋅n⃗=0×6+1×(−3)+3/2×2=−3+3=0\vec{AL} \cdot \vec{n} = 0 \times 6 + 1 \times (-3) + 3/2 \times 2 = -3 + 3 = 0. AK⃗\vec{AK} et AL⃗\vec{AL} sont non colinéaires, donc n⃗\vec{n} est normal au plan (AKL)(AKL).

2. (b) En déduire une équation cartésienne du plan (AKL)(AKL)

Réponse : 6x−3y+2z=06x - 3y + 2z = 0

2. (c) Déterminer un système d'équations paramétriques de la droite Δ\Delta passant par DD et perpendiculaire au plan (AKL)(AKL)

Réponse : x=6t,y=1−3t,z=2tx = 6t, y = 1 - 3t, z = 2t (t∈Rt \in \mathbb{R})

2. (d) En déduire que le point NN de coordonnées (1849;4049;649)(\frac{18}{49}; \frac{40}{49}; \frac{6}{49}) est le projeté orthogonal du point DD sur le plan (AKL)(AKL)

Réponse : N∈ΔN \in \Delta pour t=349t = \frac{3}{49} et 6×1849−3×4049+2×649=06\times\frac{18}{49} - 3\times\frac{40}{49} + 2\times\frac{6}{49} = 0, donc N∈(AKL)N \in (AKL). Ainsi NN est le projeté orthogonal de DD sur (AKL)(AKL).

3. (a) Calculer le volume du tétraèdre ADKLADKL en utilisant le triangle ADKADK comme base

Réponse : 18\frac{1}{8}

3. (b) Calculer la distance du point DD au plan (AKL)(AKL)

Réponse : 37\frac{3}{7}

3. (c) Déduire des questions précédentes l'aire du triangle AKLAKL

Réponse : 78\frac{7}{8}

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