Exercice 1 - Dérivation et convexité · Bac Mathématiques Asie jour 1 - Remplacement 2025

Thème : Compléments sur la dérivation : composée, dérivée seconde et convexité · Tiré du sujet Jour 1 - Remplacement (2025)

Énoncé

Exercice 1 (5 points)

Soit ff la fonction définie sur R\mathbf{R} par f(x)=xe−2xf(x) = x\mathrm{e}^{-2x}.

On admet que ff est deux fois dérivable sur R\mathbf{R} et on note f′f' la dérivée de la fonction ff.

On note CfC_f la courbe représentative de ff dans un repère orthonormé du plan.

Pour chacune des affirmations suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse, puis justifier la réponse donnée. Toute réponse non argumentée ne sera pas prise en compte.

Affirmation 1.

Pour tout réel xx, on a f′(x)=(−2x+1)e−2xf'(x) = (-2x + 1)\mathrm{e}^{-2x}.

Vraie

Fausse

Affirmation 3.

La fonction ff est convexe sur ]−∞  1]]-\infty\; 1].

Vraie

Fausse

Énoncé: Exercice 1 - Dérivation et convexité · Bac Mathématiques Asie jour 1 - Remplacement 2025

Corrigé

Corrigé établi d’après les éléments de correction officiels

Affirmation 1. Pour tout réel x, on a f'(x) = (-2x + 1)e^(-2x).

Réponse : Vraie

Justification de l'affirmation 1

Réponse : f′(x)=1×e−2x+x×(−2)e−2x=(−2x+1)e−2xf'(x) = 1 \times \mathrm{e}^{-2x} + x \times (-2)\mathrm{e}^{-2x} = (-2x + 1)\mathrm{e}^{-2x}

Affirmation 3. La fonction f est convexe sur ] - ∞ ; 1].

Réponse : Fausse

Justification de l'affirmation 3

Réponse : f′′(x)=4(x−1)e−2x≤0f''(x) = 4(x - 1)\mathrm{e}^{-2x} \le 0 sur ]−∞ ;1]]-\infty\ ; 1], donc ff est concave.

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