Exercice 1 - Dérivation et convexité · Bac Mathématiques Asie 2024 (jour 1)

Exercice 1 (5 points)

Partie A

On considère une fonction $f$ définie sur $[0\,;\,+\infty[$, représentée par la courbe $C$ ci-dessous.

La droite $T$ est tangente à la courbe $C$ au point $\mathrm{A}$ d'abscisse $\dfrac{5}{2}$.

Partie B

Dans cette partie, on considère que la fonction $f$, définie et deux fois dérivable sur $[0\,;\,+\infty[$, est définie par $f(x) = (4x - 2)\mathrm{e}^{-x+1}$.

On notera respectivement $f'$ et $f''$ la dérivée et la dérivée seconde de la fonction $f$.

Partie A

1.

Dresser, par lecture graphique, le tableau des variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0\,;\,5]$.

2.

Que semble présenter la courbe $C$ au point $\mathrm{A}$ d'abscisse $\frac{5}{2}$ ?

3.

La dérivée $f'$ et la dérivée seconde $f''$ de la fonction $f$ sont représentées par les courbes ci-dessous:

Associer à chacune de ces deux fonctions la courbe qui la représente. Justifier.

Partie B

Dans cette partie, $f(x) = (4x - 2)\mathrm{e}^{-x+1}$ sur $[0\,;\,+\infty[$.

1.a.

Montrer que $f'(x) = (-4x + 6)\mathrm{e}^{-x+1}$.

1.b.

Utiliser ce résultat pour déterminer le tableau complet des variations de la fonction $f$ sur $[0\,;\,+\infty[$. On admet que $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$.

1.c.

Étudier la convexité de la fonction $f$ et préciser l'abscisse d'un éventuel point d'inflexion de la courbe représentative de $f$.