Exercice 4 - Compléments sur la dérivation · Bac Mathématiques Asie 2025 (jour 2)

Dans un laboratoire, on étudie une réaction chimique dans un réacteur fermé, sous certaines conditions. Le traitement numérique des données expérimentales a permis de modéliser l'évolution de la température de cette réaction chimique en fonction du temps.

L'objectif de cet exercice est d'étudier cette modélisation.

La température est exprimée en degré Celsius et le temps est exprimé en minute.

Dans tout l'exercice, on se place sur l'intervalle de temps $[0~;~10]$.

Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie B: Étude de la fonction $f$

On admet que la fonction $f$ est définie pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0\;;\; 10]$ par

$$f(t) = (60t + 40)\,\mathrm{e}^{-0{,}5t}$$

1.

Montrer que pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0\;;\; 10]$, on a: $f'(t) = (40 - 30t)\,\mathrm{e}^{-0{,}5t}$.

2. a)

Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0\;;\; 10]$. Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ en y faisant figurer les images des valeurs présentes dans le tableau.

2. b)

Montrer que l'équation $f(t) = 40$ admet une unique solution $\alpha$ strictement positive sur l'intervalle $]0\;;\; 10]$.

2. c)

Donner une valeur approchée de $\alpha$ au dixième près et en donner une interprétation dans le contexte de l'exercice.

$\alpha \approx$