Exercice 1 - Parties A et B · Bac Mathématiques Asie 2024 (jour 2)

Exercice 1 (5,5 points)

On considère la fonction $f$ définie sur $]0; +\infty[$ par $f(x) = x^2 - x \ln(x)$.

On admet que $f$ est deux fois dérivable sur $]0; +\infty[$.

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ et $f''$ la fonction dérivée de la fonction $f'$.

Partie A: Étude de la fonction $f$

1.

Déterminer les limites de la fonction $f$ en $0$ et en $+\infty$.

2.

Pour tout réel $x$ strictement positif, calculer $f'(x)$.

3.

Montrer que pour tout réel $x$ strictement positif:

$$f''(x) = \frac{2x - 1}{x}$$

4.

Étudier les variations de la fonction $f'$ sur $]0; +\infty[$, puis dresser le tableau des variations de la fonction $f'$ sur $]0; +\infty[$.

On veillera à faire apparaître la valeur exacte de l'extremum de la fonction $f'$ sur $]0; +\infty[$. Les limites de la fonction $f'$ aux bornes de l'intervalle de définition ne sont pas attendues.

5.

Montrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $]0; +\infty[$.

Partie B: Étude d'une fonction auxiliaire pour la résolution de l'équation $f(x) = x$

On considère dans cette partie la fonction $g$ définie sur $]0; +\infty[$ par $g(x) = x - \ln(x)$. On admet que la fonction $g$ est dérivable sur $]0; +\infty[$, on note $g'$ sa dérivée.

1.

Pour tout réel strictement positif, calculer $g'(x)$, puis dresser le tableau des variations de la fonction $g$. Les limites de la fonction $g$ aux bornes de l'intervalle de définition ne sont pas attendues.

2.

On admet que $1$ est l'unique solution de l'équation $g(x) = 1$. Résoudre, sur l'intervalle $]0; +\infty[$, l'équation $f(x) = x$.