Exercice 3 · Bac Mathématiques Amérique du Sud 2023 (jour 2)

EXERCICE 3 (5 points)

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = 5u_n - 8n + 6$.

1.

Calculer $u_1$ et $u_2$.

2.

Soit $n$ un entier naturel. Recopier et compléter la fonction suite_u d'argument n ci-dessous, écrite en langage Python, afin qu'elle retourne la valeur de $u_n$.

def suite_u(n):

u =...

for i in range(1,n+1):

u =...

return u

3.

a.

Démontrer par récurrence que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \ge 2n$.

b.

En déduire la limite de la suite $(u_n)$.

c.

Soit $p \in \mathbb{N}^*$. Pourquoi peut-on affirmer qu'il existe au moins un entier $n_0$ tel que, pour tout entier naturel $n$ vérifiant $n \ge n_0$, $u_n \ge 10^p$ ?

4.

Démontrer que la suite $(u_n)$ est croissante.

5.

On considère la suite $(v_n)$, définie pour tout $n \in \mathbb{N}$, par $v_n = u_n - 2n + 1$.

a.

En dessous de la fonction suite_u précédente, on a écrit la fonction suite_v ci-dessous:

def suite_v(n):

L = []

for i in range(n+1):

L.append(suite_u(i)-2*i+1)

return L

La commande « L.append » permet de rajouter, en dernière position, un élément dans la liste L.

Lorsqu'on saisit suite_v(5) dans la console, on obtient l'affichage suivant:

>>> suite_v(5)

[1, 5, 25, 125, 625, 3125]

Conjecturer, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$. Démontrer cette conjecture.

b.

En déduire, pour tout entier naturel $n$, la forme explicite de $u_n$ en fonction de $n$.