Exercice 3 · Bac Mathématiques Amérique du Sud 2022 (jour 2)

Thème : Suites : récurrence, convergence et limites · Tiré du sujet Jour 2 (2022)

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EXERCICE 3 (7 points) [Suites]

La population d'une espèce en voie de disparition est surveillée de près dans une réserve naturelle.

Les conditions climatiques ainsi que le braconnage font que cette population diminue de 10 % chaque année.

Afin de compenser ces pertes, on réintroduit dans la réserve 100 individus à la fin de chaque année.

On souhaite étudier l'évolution de l'effectif de cette population au cours du temps. Pour cela, on modélise l'effectif de la population de l'espèce par la suite $(u_n)$ où $u_n$ représente l'effectif de la population au début de l'année $2020+n$ .

On admet que pour tout entier naturel $n$ , $u_n \ge 0$ .

Au début de l'année 2020, la population étudiée compte 2 000 individus, ainsi $u_0 = 2000$ .

Justifier que la suite $(u_n)$ vérifie la relation de récurrence:

$u_{n+1} = 0{,}9u_n + 100$

Calculer $u_1$ , puis $u_2$ .

$u_1 =$

$u_2 =$

Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ : $1000 < u_{n+1} \le u_n$ .

La suite $(u_n)$ est-elle convergente ? Justifier la réponse.

On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n - 1000$ .

a. Montrer que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison 0,9.

b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$ , $u_n = 1000(1+0{,}9^n)$ .

c. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ . En donner une interprétation dans le contexte de cet exercice.

On souhaite déterminer le nombre d'années nécessaires pour que l'effectif de la population passe en dessous d'un certain seuil S (avec $\mathrm{S} > 1000$ ).

a. Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $u_n \le 1020$ . Justifier la réponse par un calcul.

b. Dans le programme Python ci-contre, la variable n désigne le nombre d'années écoulées depuis 2020, la variable u désigne l'effectif de la population. Recopier et compléter ce programme afin qu'il retourne le nombre d'années nécessaires pour que l'effectif de la population passe en dessous du seuil S.

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1. Justifier que la suite (u_n) vérifie la relation de récurrence : u_{n+1} = 0,9u_n + 100.

Réponse : Chaque année, la population diminue de 10 %, ce qui revient à multiplier l'effectif par $1 - \frac{10}{100} = 0{,}9$ . On ajoute ensuite les 100 individus réintroduits à la fin de l'année, d'où $u_{n+1} = 0{,}9u_n + 100$ .

2. Calculer u_1

Réponse : 1900

2. puis u_2.

Réponse : 1810

3. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n : 1000 < u_{n+1} <= u_n.

Réponse : Initialisation : pour $n=0$ , $u_1 = 1900$ et $u_0 = 2000$ , donc $1000 < 1900 \le 2000$ , soit $1000 < u_1 \le u_0$ . La propriété est vraie au rang 0. Hérédité : supposons que pour un entier $n \ge 0$ , $1000 < u_{n+1} \le u_n$ . En multipliant par $0{,}9 > 0$ : $900 < 0{,}9u_{n+1} \le 0{,}9u_n$ En ajoutant 100 : $1000 < 0{,}9u_{n+1} + 100 \le 0{,}9u_n + 100$ Soit $1000 < u_{n+2} \le u_{n+1}$ . La propriété est transmise au rang $n+1$ . Conclusion : par récurrence, pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $1000 < u_{n+1} \le u_n$ .

4. La suite (u_n) est-elle convergente ? Justifier la réponse.

Réponse : Oui, la suite $(u_n)$ est convergente car elle est décroissante (puisque $u_{n+1} \le u_n$ pour tout $n$ ) et minorée par 1000.

5. a. Montrer que la suite (v_n) est géométrique de raison 0,9.

Réponse : $v_{n+1} = u_{n+1} - 1000 = (0{,}9u_n + 100) - 1000 = 0{,}9u_n - 900 = 0{,}9(u_n - 1000) = 0{,}9v_n$ La suite $(v_n)$ est donc une suite géométrique de raison $q = 0{,}9$ et de premier terme $v_0 = u_0 - 1000 = 2000 - 1000 = 1000$ .

Les réponses des 6 questions restantes et l’explication pas à pas sont réservées aux membres Premium. Premium

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