Exercice 2 · Bac Mathématiques Amérique du Sud 2022 (jour 1)

1. a. Calculer $u_1$.

Réponse : $16/5$ / $3{,}2$

1. a. Calculer $u_2$.

Réponse : $256/125$ / $2{,}048$

1. b. Recopier et compléter la fonction ci-dessous écrite en langage Python.

Réponse : ```python u = 4 for i in range(1, p + 1): u = 1/5 * u2 return u ``` ```python u = 4 for i in range(1, p + 1): u = (u2) / 5 return u ``` ```python u = 4 for i in range(1, p + 1): u = 0.2 * u**2 return u ```

2. a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $0 < u_n \le 4$.

Réponse : Pour tout entier naturel $n$, soit $P(n)$ : $0 < u_n \le 4$. - Initialisation : pour $n=0$, $u_0 = 4$ et $0 < 4 \le 4$, donc $P(0)$ est vraie. - Hérédité : supposons que $P(k)$ soit vraie pour un entier $k \ge 0$, c'est-à-dire $0 < u_k \le 4$. La fonction $x \mapsto x^2$ étant strictement croissante sur $]0 ; +\infty[$, on a : $$0 < u_k^2 \le 16$$ En multipliant par $\dfrac{1}{5} > 0$ : $$0 < \dfrac{1}{5}u_k^2 \le \dfrac{16}{5}$$ Or $\dfrac{16}{5} = 3{,}2 \le 4$, donc : $$0 < u_{k+1} \le 4$$ La propriété est donc héréditaire. - Conclusion : par le principe de récurrence, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $0 < u_n \le 4$.

2. b. Démontrer que la suite $(u_n)$ est décroissante.

Réponse : Pour tout entier naturel $n$ : $$u_{n+1} - u_n = \dfrac{1}{5}u_n^2 - u_n = u_n\left(\dfrac{1}{5}u_n - 1\right)$$ D'après la question 2.a, pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $$0 < u_n \le 4$$ Donc $u_n > 0$, et d'autre part : $$u_n \le 4 \implies \dfrac{1}{5}u_n \le \dfrac{4}{5} \implies \dfrac{1}{5}u_n - 1 \le -\dfrac{1}{5} < 0$$ Par produit d'un facteur strictement positif et d'un facteur strictement négatif : $$u_{n+1} - u_n < 0$$ Ainsi, la suite $(u_n)$ est strictement décroissante.

2. c. En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.

Réponse : La suite $(u_n)$ est décroissante et minorée par 0 (d'après 2.a, $u_n > 0$). D'après le théorème de convergence monotone, la suite $(u_n)$ converge vers une limite finie $\ell$.

3. a. Justifier que la limite $\ell$ de la suite $(u_n)$ vérifie l'égalité $\ell = \dfrac{1}{5}\ell^2$.

Réponse : La fonction $f : x \mapsto \dfrac{1}{5}x^2$ est continue sur $\mathbb{R}$. Comme $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = \ell$, on a $\lim\limits_{n \to +\infty} u_{n+1} = \ell$. Par continuité de $f$ en $\ell$ : $$\lim_{n \to +\infty} f(u_n) = f(\ell)$$ Or $u_{n+1} = f(u_n)$, d'où par unicité de la limite : $$\ell = \dfrac{1}{5}\ell^2$$