Exercice 3 - Questions 1 à 3 · Bac Mathématiques Amérique du Sud 2024 (jour 1)

Thème : Suites : récurrence, convergence et limites · Tiré du sujet Jour 1 (2024)

Énoncé

EXERCICE 3 (4 points)

Répondre par VRAI ou FAUX à chacune des affirmations suivantes et justifier votre réponse.

Toute réponse non justifiée ne sera pas prise en compte dans la notation.

Toutes les questions de cet exercice sont indépendantes.

On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel non nul $n$ par $u_n = \dfrac{25 + (-1)^n}{n}$ .

Affirmation 1: La suite $(u_n)$ est divergente.

VRAI

FAUX

On considère la suite $(w_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $\begin{cases} w_0 = 1 \\ w_{n+1} = \dfrac{w_n}{1 + w_n} \end{cases}$

On admet que pour tout entier naturel $n$ , $w_n > 0$ .

On considère la suite $(t_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $t_n = \dfrac{k}{w_n}$ où $k$ est un nombre réel strictement positif.

Affirmation 2: La suite $(t_n)$ est une suite arithmétique strictement croissante.

VRAI

FAUX

On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $\begin{cases} v_0 = 1 \\ v_{n+1} = \ln(1 + v_n) \end{cases}$

On admet que pour tout entier naturel $n$ , $v_n > 0$ .

Affirmation 3: La suite $(v_n)$ est décroissante.

VRAI

FAUX

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Corrigé

Corrigé établi d’après les éléments de correction officiels

1. Affirmation 1 : La suite $(u_n)$ est divergente.

Réponse : FAUX

1. Justification pour l'Affirmation 1

Réponse : Pour tout $n \ge 1$ , $\frac{24}{n} \le u_n \le \frac{26}{n}$ . Or $\lim_{n \to +\infty} \frac{24}{n} = \lim_{n \to +\infty} \frac{26}{n} = 0$ , donc par le théorème des gendarmes $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$ . La suite converge vers 0.

2. Affirmation 2 : La suite $(t_n)$ est une suite arithmétique strictement croissante.

Réponse : VRAI

2. Justification pour l'Affirmation 2

Réponse : $t_{n+1} = \frac{k}{w_{n+1}} = \frac{k(1+w_n)}{w_n} = k + \frac{k}{w_n} = t_n + k$ . Comme $k > 0$ , $(t_n)$ est arithmétique de raison $k > 0$ , donc strictement croissante.

3. Affirmation 3 : La suite $(v_n)$ est décroissante.

Réponse : VRAI

3. Justification pour l'Affirmation 3

Réponse : Pour tout $x > 0$ , $\ln(1+x) < x$ . Comme pour tout $n$ , $v_n > 0$ , on a $v_{n+1} = \ln(1+v_n) < v_n$ . La suite $(v_n)$ est donc strictement décroissante.

L’explication pas à pas, faite avec l’IA, est réservée aux membres Premium. Premium

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