Exercice 3 · Bac Mathématiques Amérique du Sud 2025 (jour 2)

1. Donner la valeur exacte de v_1

Réponse : $\ln(7)$

1. Donner la valeur exacte de w_0

Réponse : $3$

2. a. Choisir la formule qui permettra d'obtenir les valeurs de la suite (v_n) dans la cellule B3 puis recopiée vers le bas

Réponse : = LN(-1 + 2 * EXP(B2))

2. b. Conjecturer le sens de variation de la suite (v_n)

Réponse : La suite (v_n) est strictement croissante

2. c. À l'aide d'un raisonnement par récurrence, valider votre conjecture concernant le sens de variation de la suite (v_n)

Réponse : Initialisation : $v_0 = \ln(4)$ et $v_1 = \ln(7)$, donc $v_1 > v_0$. Ainsi $P(0)$ est vraie. Hérédité : On suppose $P(n)$ vraie ($v_{n+1} > v_n$). Comme $(v_n)$ est strictement positive, $v_{n+1} > 0$. Alors $v_{n+2} - v_{n+1} = \ln(2 - \mathrm{e}^{-v_{n+1}}) > 0$ car $v_{n+1} > 0 \implies 2 - \mathrm{e}^{-v_{n+1}} > 1$. Ainsi $v_{n+2} > v_{n+1}$. Conclusion : Par récurrence, pour tout $n$, $v_{n+1} > v_n$, la suite $(v_n)$ est strictement croissante.

3. a. Raison de la suite géométrique (w_n)

Réponse : $2$

3. a. Démonstration que la suite (w_n) est géométrique

Réponse : $w_{n+1} = -1 + \mathrm{e}^{v_{n+1}} = -1 + (-1 + 2\mathrm{e}^{v_n}) = 2(\mathrm{e}^{v_n} - 1) = 2w_n$

3. b. En déduire que pour tout entier naturel n, v_n = ln(1 + 3 * 2^n)

Réponse : Comme $(w_n)$ est géométrique de raison 2 et $w_0 = 3$, $w_n = 3 \times 2^n$. De $w_n = -1 + \mathrm{e}^{v_n}$, on tire $\mathrm{e}^{v_n} = 1 + w_n = 1 + 3 \times 2^n$, d'où $v_n = \ln(1 + 3 \times 2^n)$.

3. c. Déterminer la limite de la suite (v_n)

Réponse : $+\infty$

3. c. Justification de la limite de (v_n)

Réponse : $\lim_{n \to +\infty} 2^n = +\infty \implies \lim_{n \to +\infty} (1 + 3 \times 2^n) = +\infty$, puis par composition avec $\lim_{X \to +\infty} \ln(X) = +\infty$, on obtient $\lim_{n \to +\infty} v_n = +\infty$.

4. Justifier que l'algorithme suivant écrit en langage Python renvoie un résultat quel que soit le choix de la valeur du nombre S

Réponse : Dans l'algorithme, la variable $V$ prend successivement les valeurs $v_0, v_1, v_2, \dots$. Si $S \le v_0$, la boucle ne s'exécute pas et renvoie 0. Si $S > v_0$, comme $(v_n)$ est strictement croissante et tend vers $+\infty$, il existe un entier $N$ tel que $v_N \ge S$. La boucle s'arrête donc au bout de $N$ itérations et renvoie $N$.