Exercice 2 · Bac Mathématiques Amérique du Nord 2025 (jour 1)

Exercice 2 (5 points)

On considère la suite numérique $(u_n)$ définie par son premier terme $u_0 = 2$ et pour tout entier naturel $n$, par:

$$u_{n+1} = \frac{2u_n + 1}{u_n + 2}$$

On admet que la suite $(u_n)$ est bien définie.

1.

Calculer le terme $u_1$.

2. On définit la suite $(a_n)$ pour tout entier naturel $n$, par:

$$a_n = \frac{u_n}{u_n - 1}$$

On admet que la suite $(a_n)$ est bien définie.

a.

Calculer $a_0$ et $a_1$.

b.

Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1} = 3a_n - 1$.

c.

Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1,

$$a_n \ge 3n - 1$$

d.

En déduire la limite de la suite $(a_n)$.

3. On souhaite étudier la limite de la suite $(u_n)$.

a.

Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n = \dfrac{a_n}{a_n - 1}$.

b.

En déduire la limite de la suite $(u_n)$.

4. On admet que la suite $(u_n)$ est décroissante.

On considère le programme suivant écrit en langage Python:

def algo(p):

u = 2

n = 0

while u - 1 > p:

u = (2 * u + 1) / (u + 2)

n = n + 1

return (n, u)

a.

Interpréter les valeurs $n$ et $u$ renvoyées par l'appel de la fonction algo(p) dans le contexte de l'exercice.

b.

Donner, sans justifier, la valeur de $n$ pour $p = 0{,}001$.