Exercice 2 · Bac Mathématiques Amérique du Nord 2023 (jour 2)

1) Calculer le nombre de membres du club A en 2024 ($a_1$)

Réponse : 1575

1) Calculer le nombre de membres du club B en 2024 ($b_1$)

Réponse : 1425

2) Pour tout entier naturel $n$, déterminer une relation liant $a_n$ et $b_n$.

Réponse : $a_n + b_n = 3\,000$

3) Montrer que la suite $(a_n)$ vérifie la relation $a_{n+1} = 0{,}75\,a_n + 300$

Réponse : Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $a_{n+1} = 0{,}85a_n + 0{,}1b_n = 0{,}75a_n + 0{,}1(a_n + b_n) = 0{,}75a_n + 300$.

4) a) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a : $1\,200 \le a_{n+1} \le a_n \le 1\,700$

Réponse : Initialisation : $a_0 = 1\,700$ et $a_1 = 1\,575$, d'où $1\,200 \le a_1 \le a_0 \le 1\,700$. Hérédité : si $1\,200 \le a_{k+1} \le a_k \le 1\,700$, en multipliant par $0{,}75 > 0$ puis en ajoutant 300, on obtient $1\,200 \le a_{k+2} \le a_{k+1} \le 1\,575 \le 1\,700$.

4) b) En déduire que la suite $(a_n)$ converge.

Réponse : La suite $(a_n)$ est décroissante et minorée par 1 200, donc elle converge.

5) a) Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique.

Réponse : Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $v_{n+1} = 0{,}75v_n$. La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $q = 0{,}75$ et de premier terme $v_0 = 500$.

5) a) Raison de la suite géométrique $(v_n)$

Réponse : 0,75

5) a) Premier terme $v_0$

Réponse : 500

5) b) Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.

Réponse : $v_n = 500 \times 0{,}75^n$

5) c) En déduire que pour tout entier naturel $n$, $a_n = 500 \times 0{,}75^n + 1\,200$.

Réponse : Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $a_n = v_n + 1\,200 = 500 \times 0{,}75^n + 1\,200$.

6) a) Déterminer la limite de la suite $(a_n)$.

Réponse : 1200

6) b) Interpréter le résultat de la question précédente dans le contexte de l'exercice.

Réponse : À long terme, le nombre de sportifs présents au club A va se stabiliser autour de 1 200.

7) a) Ligne 4 du programme Python (condition du while)

Réponse : ```python A >= 1280 ```

7) a) Ligne 6 du programme Python (mise à jour de A)

Réponse : ```python 0.75*A + 300 ```

7) a) Ligne 7 du programme Python (valeur renvoyée)

Réponse : ```python n ```

7) b) Déterminer la valeur renvoyée lorsqu'on appelle la fonction seuil.

Réponse : 7