Exercice 4 · Bac Mathématiques Amérique du Nord 2023 (jour 1)

1. Donner u_1 sous forme de fraction irréductible.

Réponse : 18/5

1. Donner u_2 sous forme de fraction irréductible.

Réponse : 599/180

2. Démontrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle [\sqrt{11} ; +\infty[.

Réponse : f'(x) = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{11}{x^2}\right) = \frac{x^2 - 11}{2x^2} \ge 0 \text{ sur } [\sqrt{11} ; +\infty[

3. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, on a : u_n \ge u_{n+1} \ge \sqrt{11}.

Réponse : Démonstration par récurrence : initialisation vérifiée car 5 \ge 18/5 \ge \sqrt{11}, et hérédité assurée par la croissance de f sur [\sqrt{11} ; +\infty[ avec f(\sqrt{11}) = \sqrt{11}.

4. En déduire que la suite (u_n) converge vers une limite réelle. On note a cette limite.

Réponse : La suite (u_n) est décroissante et minorée par \sqrt{11}, donc d'après le théorème de convergence des suites monotones, elle converge vers une limite réelle a \ge \sqrt{11}.

5. Préciser la valeur exacte de a.

Réponse : \sqrt{11} / sqrt(11) / √11

5. Déterminer et résoudre une équation dont a est solution.

Réponse : f(x) = x \iff x^2 = 11, donc x = \sqrt{11} ou x = -\sqrt{11}. Comme a \ge \sqrt{11}, a = \sqrt{11}.

Partie B - 1. a. Expliquer pourquoi \ell_0 = 2,2.

Réponse : L_0 \ell_0 = 11 \iff 5\ell_0 = 11 \iff \ell_0 = 11/5 = 2,2

Partie B - 1. b. Établir que pour tout entier naturel n, \ell_n = \frac{11}{L_n}.

Réponse : Pour tout n, l'aire du rectangle R_n est L_n \ell_n = 11, d'où \ell_n = 11 / L_n.

Partie B - 2. Vérifier que la suite (L_n) correspond à la suite (u_n) de la partie A.

Réponse : L_0 = 5 = u_0 et L_{n+1} = \frac{L_n + 11/L_n}{2}, donc (L_n) vérifie la même relation de récurrence et même premier terme que (u_n).

Partie B - 3. Montrer que pour tout entier naturel n, on a \ell_n \le \sqrt{11} \le L_n.

Réponse : Comme L_n = u_n \ge \sqrt{11}, par passage à l'inverse \frac{1}{L_n} \le \frac{1}{\sqrt{11}}, d'où \ell_n = \frac{11}{L_n} \le \frac{11}{\sqrt{11}} = \sqrt{11}.

Partie B - 4. Interpréter géométriquement ce résultat dans le contexte de la partie B.

Réponse : La longueur et la largeur du rectangle R_n tendent toutes deux vers \sqrt{11}, donc le rectangle R_n se rapproche progressivement d'un carré d'aire 11 et de côté \sqrt{11}.

Partie B - 5. a. Valeur de sortie pour \ell obtenue avec heron(3).

Réponse : 3,316606 / 3.316606

Partie B - 5. a. Valeur de sortie pour L obtenue avec heron(3).

Réponse : 3,316643 / 3.316643

Partie B - 5. b. Donner une interprétation de ces deux valeurs.

Réponse : Ces deux valeurs constituent un encadrement de \sqrt{11} à 10^{-4} près (ou les dimensions d'un rectangle R_3 très proche d'un carré).