Exercice 2 · Bac Mathématiques Amérique du Nord 2022 (jour 1)

EXERCICE 2 (7 points) — Thème: suites

Dans cet exercice, on considère la suite $(T_n)$ définie par: $$T_0 = 180 \quad \text{et, pour tout entier naturel } n, \quad T_{n+1} = 0{,}955\,T_n + 0{,}9.$$

1. a.

Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $T_n \ge 20$.

1. b.

Vérifier que pour tout entier naturel $n$, $T_{n+1} - T_n = -0{,}045(T_n - 20)$. En déduire le sens de variation de la suite $(T_n)$.

1. c.

Conclure de ce qui précède que la suite $(T_n)$ est convergente. Justifier.

2.

Pour tout entier naturel $n$, on pose: $u_n = T_n - 20$.

2. a.

Montrer que la suite $(u_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.

2. b.

En déduire que pour tout entier naturel $n$, $T_n = 20 + 160 \times 0{,}955^n$.

2. c.

Calculer la limite de la suite $(T_n)$.

2. d.

Résoudre l'inéquation $T_n \le 120$ d'inconnue $n$ entier naturel.

3.

Dans cette partie, on s'intéresse à l'évolution de la température au centre d'un gâteau après sa sortie du four. On considère qu'à la sortie du four, la température au centre du gâteau est de $180^\circ\text{C}$ et celle de l'air ambiant de $20^\circ\text{C}$. La loi de refroidissement de Newton permet de modéliser la température au centre du gâteau par la suite précédente $(T_n)$. Plus précisément, $T_n$ représente la température au centre du gâteau, exprimée en degré Celsius, $n$ minutes après sa sortie du four.

3. a.

Expliquer pourquoi la limite de la suite $(T_n)$ déterminée à la question 2. c. était prévisible dans le contexte de l'exercice.

3. b.

On considère la fonction Python ci-dessous:

Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.