Exercice 2 · Bac Mathématiques Amérique du Nord 2023 (jour 1)

1. a. Déterminer la limite de la fonction g en -\infty .

Réponse : $+\infty$

1. b. Déterminer la limite de la fonction g en +\infty .

Réponse : $+\infty$

2. a. Démontrer que pour tout nombre réel x, on a g'(x) = 6e^{2x} - 2.

Réponse : $g'(x) = 2 \times 3\mathrm{e}^{2x} - 2 = 6\mathrm{e}^{2x} - 2$

2. b. Étudier le signe de la fonction dérivée g' sur R.

Réponse : $-\frac{1}{2}\ln(3)$

2. c. En déduire le tableau de variations de la fonction g sur R. Vérifier que la fonction g admet un minimum égal à ln(3) - 2.

Réponse : g est strictement décroissante sur $]-\infty ; -\frac{1}{2}\ln 3]$ et strictement croissante sur $[-\frac{1}{2}\ln 3 ; +\infty[$, avec un minimum valant $\ln 3 - 2$.

3. a. Montrer que x = 0 est solution de l'équation g(x) = 0.

Réponse : $g(0) = 3\mathrm{e}^0 - 2(0) - 3 = 3 - 3 = 0$

3. b. Donner un encadrement d'amplitude 10^{-1} de \alpha.

Réponse : $-1{,}5 < \alpha < -1{,}4$

3. b. Montrer que l'équation g(x) = 0 admet une deuxième solution, non nulle, notée \alpha (justification).

Réponse : D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, g est continue et strictement décroissante sur $]-\infty ; -\frac{1}{2}\ln 3]$ avec $\lim_{x \to -\infty} g(x) = +\infty$ et $g(-\frac{1}{2}\ln 3) < 0$. Comme $0 \in ]\ln 3 - 2 ; +\infty[$, l'équation admet une unique solution notée $\alpha$.

4. Signe de g(x) sur ]-\infty ; \alpha[

Réponse : +

4. Signe de g(x) sur ]\alpha ; 0[

Réponse : -

4. Signe de g(x) sur ]0 ; +\infty[

Réponse : +

Partie B - 1. Démontrer que pour tout nombre réel x, on a f'(x) = e^x g(x).

Réponse : $f'(x) = 3\mathrm{e}^{3x} - [2\mathrm{e}^x + (2x + 1)\mathrm{e}^x] = \mathrm{e}^x(3\mathrm{e}^{2x} - 2x - 3) = \mathrm{e}^x g(x)$

Partie B - 2. En déduire alors le signe de la fonction dérivée f' puis les variations de la fonction f sur R.

Réponse : $f'(x)$ est du signe de $g(x)$. f est strictement croissante sur $]-\infty ; \alpha]$, strictement décroissante sur $[\alpha ; 0]$ et strictement croissante sur $[0 ; +\infty[$.

Partie B - 3. Pourquoi la fonction f n'est-elle pas convexe sur R ? Expliquer.

Réponse : f n'est pas convexe car f' n'est pas croissante sur R (f' change deux fois de signe, donc f' n'est pas monotone).