Exercice 3 · Bac Mathématiques Amérique du Nord 2024 (jour 1)

Partie A - 1. Lire graphiquement $f'(1)$

Réponse : 3

Partie A - 1. Donner l'équation réduite de la tangente $(T)$

Réponse : y = 3x - 4

Partie A - 2. Donner les intervalles sur lesquels la fonction $f$ semble convexe ou concave. Que semble représenter le point A pour la courbe $(C_f)$ ?

Réponse : Concave sur $]0\,;1]$, convexe sur $[1\,;+\infty[$. Le point $A$ semble être un point d'inflexion.

Partie B - 1. Déterminer, en justifiant, la limite de $f$ en $+\infty$, puis sa limite en $0$

Réponse : $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ et $\lim_{x \to 0} f(x) = -\infty$

Partie B - 2. a. Déterminer $f'(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle $]0\,;+\infty[$

Réponse : $2\ln(x) + 2 + \frac{1}{x^2}$

Partie B - 2. b. Montrer que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $]0\,;+\infty[$, $f''(x) = \frac{2(x + 1)(x - 1)}{x^3}$

Réponse : $f''(x) = \frac{2}{x} - \frac{2}{x^3} = \frac{2x^2 - 2}{x^3} = \frac{2(x + 1)(x - 1)}{x^3}$

Partie B - 3. a. Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0\,;+\infty[$

Réponse : $f$ est concave sur $]0\,;1]$ et convexe sur $[1\,;+\infty[$, avec un point d'inflexion en $x = 1$.

Partie B - 3. b. Étudier les variations de la fonction $f'$, puis le signe de $f'(x)$. En déduire le sens de variation de la fonction $f$

Réponse : $f'$ est strictement décroissante sur $]0\,;1]$ et strictement croissante sur $[1\,;+\infty[$. Son minimum est $f'(1) = 3 > 0$, donc $f'(x) > 0$ et $f$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$.

Partie B - 4. a. Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $]0\,;+\infty[$

Réponse : $f$ est continue et strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$, $\lim_{x\to 0^+} f(x) = -\infty$ et $\lim_{x\to +\infty} f(x) = +\infty$. Comme $0 \in ]-\infty\,;+\infty[$, d'après le corollaire du TVI, il existe un unique $\alpha > 0$ tel que $f(\alpha) = 0$.

Partie B - 4. b. Donner la valeur arrondie au centième de $\alpha$

Réponse : 1,24 / 1.24

Partie B - 4. b. Montrer que $\alpha$ vérifie $\alpha^2 = \exp\left(\frac{1}{\alpha^2}\right)$

Réponse : $f(\alpha) = 0 \iff 2\alpha\ln\alpha - \frac{1}{\alpha} = 0 \iff 2\alpha^2\ln\alpha = 1 \iff \ln\alpha = \frac{1}{2\alpha^2} \iff \alpha = \exp\left(\frac{1}{2\alpha^2}\right) \iff \alpha^2 = \exp\left(\frac{1}{\alpha^2}\right)$