Exercice 4 - Dérivation · Bac Mathématiques Amérique du Nord 2025 (jour 1)

Exercice 4 (5 points)

La partie C est indépendante des parties A et B.

Partie A

On donne ci-dessous, dans un repère orthogonal, les courbes $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$, représentations graphiques de deux fonctions définies et dérivables sur $\mathbb{R}$. L'une des deux fonctions représentées est la fonction dérivée de l'autre. On les notera $g$ et $g'$.

On précise également que:

La courbe $\mathcal{C}_1$ coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées $(0; 1)$.

La courbe $\mathcal{C}_2$ coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées $(0; 2)$ et l'axe des abscisses aux points de coordonnées $(-2; 0)$ et $(1; 0)$.

Partie A

On donne ci-dessous, dans un repère orthogonal, les courbes $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$, représentations graphiques de deux fonctions définies et dérivables sur $\mathbb{R}$. L'une des deux fonctions représentées est la fonction dérivée de l'autre. On les notera $g$ et $g'$.

On précise également que:

La courbe $\mathcal{C}_1$ coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées $(0; 1)$.

La courbe $\mathcal{C}_2$ coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées $(0; 2)$ et l'axe des abscisses aux points de coordonnées $(-2; 0)$ et $(1; 0)$.

1.

En justifiant, associer à chacune des fonctions $g$ et $g'$ sa représentation graphique.

$g$:

$g'$:

2.

Justifier que l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de la fonction $g$ au point d'abscisse $0$ est $y = 2x + 1$.

Partie C

On considère la fonction $f$ définie pour tout nombre réel $x$ par:

$$f(x) = (x^2 + 3x + 2)\mathrm{e}^{-x}$$

1.

Démontrer que la limite de la fonction $f$ en $+\infty$ est égale à $0$.

On admet par ailleurs que la limite de la fonction $f$ en $-\infty$ est égale à $+\infty$.

2.a.

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $\mathbb{R}$.

Vérifier que, pour tout nombre réel $x$, $f'(x) = (-x^2 - x + 1)\mathrm{e}^{-x}$.

2.b.

Déterminer le signe de la fonction dérivée $f'$ sur $\mathbb{R}$ puis en déduire les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.

3.

Expliquer pourquoi la fonction $f$ est positive sur l'intervalle $[0; +\infty[$.