Exercice 1 - Dérivation et convexité · Bac Mathématiques Amérique du Nord 2023 (jour 2)

Exercice 1 (5 points)

Partie A

Le plan est muni d'un repère orthogonal.

On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$. On note $f'$ sa fonction dérivée.

On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction dérivée $f'$.

Dans cette partie, les résultats seront obtenus par lecture graphique de la courbe représentative de la fonction dérivée $f'$. Aucune justification n'est demandée.

Partie B

On admet que la fonction $f$ de la partie A est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (x^2 - 5x + 6)\mathrm{e}^x$.

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère.

Partie A

Dans cette partie, les résultats seront obtenus par lecture graphique de la courbe représentative de la fonction dérivée $f'$. Aucune justification n'est demandée.

1)

Donner le sens de variation de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$. On utilisera des valeurs approchées si besoin.

2)

Donner les intervalles sur lesquels la fonction $f$ semble être convexe.

Partie B

On admet que la fonction $f$ de la partie A est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = (x^2 - 5x + 6)\mathrm{e}^x$. On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère.

2)

Montrer que, pour tout réel $x$, on a $f'(x) = (x^2 - 3x + 1)\mathrm{e}^x$.

3)

En déduire le sens de variation de la fonction $f$.

4)

Déterminer l'équation réduite de la tangente $(\mathcal{T})$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0.

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$. On note $f''$ la fonction dérivée seconde de la fonction $f$. On admet que, pour tout réel $x$, on a $f''(x) = (x + 1)(x - 2)\mathrm{e}^x$.

5) a)

Étudier la convexité de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.

5) b)

Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[-1\,;\,2]$, on a $f(x) \le x + 6$.