Exercice 2 · Bac Mathématiques Amérique du Nord 2022 (jour 2)

Partie A - 1. Déterminer les variations de la fonction p sur l'intervalle [-3 ; 4].

Réponse : $p$ est strictement croissante sur l'intervalle $[-3\,;\, 4]$.

Partie A - 2. Justifier que l'équation p(x) = 0 admet sur l'intervalle [-3 ; 4] une unique solution qui sera notée alpha.

Réponse : D'après le théorème de la bijection (ou corollaire du TVI), l'équation $p(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[-3\,;\, 4]$.

Partie A - 3. Déterminer une valeur approchée du réel alpha au dixième près.

Réponse : $-0{,}2$ / $-0{,}3$

Partie A - 4. Donner le tableau de signe de la fonction p sur l'intervalle [-3 ; 4].

Réponse : $p(x) < 0$ sur $[-3\,;\, \alpha[$, $p(\alpha) = 0$, et $p(x) > 0$ sur $]\alpha\,;\, 4]$.

Partie B - 1. a. Déterminer la dérivée de la fonction f sur l'intervalle [-3 ; 4].

Réponse : $f'(x) = \frac{\mathrm{e}^x(1 - 2x + x^2)}{(1 + x^2)^2}$ / $f'(x) = \frac{\mathrm{e}^x(x - 1)^2}{(1 + x^2)^2}$

Partie B - 1. b. Justifier que la courbe Cf admet une tangente horizontale au point d'abscisse 1.

Réponse : $f'(1) = 0$, la courbe $\mathcal{C}_f$ admet donc une tangente horizontale au point d'abscisse 1.

Partie B - 2. a. D'après le graphique ci-dessus, le toboggan semble-t-il assurer de bonnes sensations ? Argumenter.

Réponse : Oui, le toboggan semble assurer de bonnes sensations car la courbe semble admettre deux points d'inflexion.

Partie B - 2. b. En utilisant l'expression précédente de f'', répondre à la question : « le toboggan assure-t-il de bonnes sensations ? ». Justifier.

Réponse : Oui, le toboggan assure de bonnes sensations car $f''$ s'annule et change de signe en $\alpha$ et en $1$, donc $\mathcal{C}_f$ admet bien deux points d'inflexion.