Exercice 4 - Dérivation et convexité · Bac Mathématiques Amérique du Nord 2022 (jour 1)

3. Affirmation 3 : L'axe des abscisses est tangent à la courbe C en un seul point.

Réponse : Vraie

Justification de l'affirmation 3

Réponse : $f'(x)=x(2-x)\text{e}^{-x}$. $f'(x)=0 \iff x=0$ ou $x=2$. Seul $x=0$ vérifie $f(0)=0$, donc le point de contact tangent est unique : $(0,0)$.

4. Affirmation 4 : Dans le plan muni d'un repère orthonormé, la courbe représentative de la fonction h n'admet pas de point d'inflexion.

Réponse : Fausse

Justification de l'affirmation 4

Réponse : $h''(x) = -(x^2+4x+1)\text{e}^x$. Comme $\Delta = 12 > 0$, l'équation $h''(x)=0$ admet deux solutions avec changement de signe, donc la courbe admet deux points d'inflexion.