Exercice A · Bac Mathématiques Amérique du Nord 2021 (jour 1)

Affirmation 1 : Pour tous réels a et b, (e^(a+b))² = e^(2a) + e^(2b). (Vraie ou Fausse)

Réponse : Fausse

Affirmation 1 : Justification

Réponse : Soit (a, b) ∈ ℝ². (e^(a+b))² = e^(2a+2b) = e^(2a) × e^(2b) ≠ e^(2a) + e^(2b).

Affirmation 2 : Dans le plan muni d'un repère, la tangente au point A d'abscisse 0 à la courbe représentative de la fonction f définie sur ℝ par f(x) = -2 + (3 - x)e^x admet pour équation réduite y = 2x + 1. (Vraie ou Fausse)

Réponse : Vraie

Affirmation 2 : Justification

Réponse : f'(x) = e^x(2 - x), donc f'(0) = 2 et f(0) = 1. L'équation est y = f'(0)(x - 0) + f(0) = 2x + 1.

Affirmation 3 : lim (x→+∞) e^(2x) - e^x + 3/x = 0. (Vraie ou Fausse)

Réponse : Fausse

Affirmation 3 : Justification

Réponse : En factorisant par e^(2x) ou e^x, la limite en +∞ est égale à +∞ et non à 0.

Affirmation 4 : L'équation 1 - x + e^(-x) = 0 admet une seule solution appartenant à l'intervalle [0 ; 2]. (Vraie ou Fausse)

Réponse : Vraie

Affirmation 4 : Justification

Réponse : La fonction est continue, strictement décroissante sur [0 ; 2] et change de signe (h(0)=2 > 0 et h(2)=e^(-2)-1 < 0), donc d'après le corollaire du TVI il existe une unique solution.

Affirmation 5 : La fonction g définie sur ℝ par g(x) = x² - 5x + e^x est convexe. (Vraie ou Fausse)

Réponse : Vraie

Affirmation 5 : Justification

Réponse : g''(x) = 2 + e^x > 0 pour tout x réel, donc g est convexe.