Exercice B · Bac Mathématiques Amérique du Nord 2021 (jour 1)

Thème : Compléments sur la dérivation : composée, dérivée seconde et convexité · Tiré du sujet Jour 1 (2021)

Énoncé

Principaux domaines abordés:

Fonction logarithme népérien

Convexité

Dans le plan muni d'un repère, on considère ci-dessous la courbe Cf\mathcal{C}_f représentative d'une fonction ff, deux fois dérivable sur l'intervalle ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[. La courbe Cf\mathcal{C}_f admet une tangente horizontale T\mathrm{T} au point A(1 ; 4)\mathrm{A}(1\,;\,4).

1.

Préciser les valeurs f(1)f(1) et f′(1)f'(1).

On admet que la fonction ff est définie pour tout réel xx de l'intervalle ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ par: f(x)=a+bln⁡xxouˋ a et b sont deux nombres reˊels.f(x) = \frac{a + b\ln x}{x} \quad \text{où } a \text{ et } b \text{ sont deux nombres réels.}

2.

Démontrer que, pour tout réel xx strictement positif, on a: f′(x)=b−a−bln⁡xx2f'(x) = \frac{b - a - b\ln x}{x^2}

3.

En déduire les valeurs des réels aa et bb.

Dans la suite de l'exercice, on admet que la fonction ff est définie pour tout réel xx de l'intervalle ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ par: f(x)=4+4ln⁡xxf(x) = \frac{4 + 4\ln x}{x}

4.

Déterminer les limites de ff en 00 et en +∞+\infty.

5.

Déterminer le tableau de variations de ff sur l'intervalle ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[.

6.

Démontrer que, pour tout réel xx strictement positif, on a: f′′(x)=−4+8ln⁡xx3f''(x) = \frac{-4 + 8\ln x}{x^3}

7.

Montrer que la courbe Cf\mathcal{C}_f possède un unique point d'inflexion B\mathrm{B} dont on précisera les coordonnées.

Énoncé: Exercice B · Bac Mathématiques Amérique du Nord 2021 (jour 1)

Corrigé

Corrigé établi d’après les éléments de correction officiels

1. Préciser la valeur de f(1).

Réponse : 4

1. Préciser la valeur de f'(1).

Réponse : 0

2. Démontrer que, pour tout réel x strictement positif, f'(x) = (b - a - b ln x)/x².

Réponse : ff est dérivable sur R+∗\mathbb{R}_+^* comme quotient de fonctions dérivables. En posant u(x)=a+bln⁡xu(x) = a + b\ln x et v(x)=xv(x) = x, on a u′(x)=bxu'(x) = \frac{b}{x} et v′(x)=1v'(x) = 1. f′(x)=u′(x)v(x)−u(x)v′(x)v(x)2=bx×x−(a+bln⁡x)×1x2=b−a−bln⁡xx2f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2} = \frac{\frac{b}{x} \times x - (a + b\ln x) \times 1}{x^2} = \frac{b - a - b\ln x}{x^2}

3. En déduire la valeur du réel a.

Réponse : 4

3. En déduire la valeur du réel b.

Réponse : 4

4. Déterminer la limite de f en 0.

Réponse : −∞-\infty

4. Déterminer la limite de f en +∞.

Réponse : 0

5. Déterminer le tableau de variations de f sur l'intervalle ]0 ; +∞[.

Réponse : Avec a=4a = 4 et b=4b = 4, f′(x)=−4ln⁡xx2f'(x) = \frac{-4\ln x}{x^2}. Comme x2>0x^2 > 0 sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[, le signe de f′(x)f'(x) est celui de −4ln⁡x-4\ln x : - f′(x)>0f'(x) > 0 sur ]0 ; 1[]0\,;\,1[ car ln⁡x<0\ln x < 0 ; - f′(1)=0f'(1) = 0 ; - f′(x)<0f'(x) < 0 sur ]1 ; +∞[]1\,;\,+\infty[ car ln⁡x>0\ln x > 0. La fonction ff est donc strictement croissante sur ]0 ; 1]]0\,;\,1] et strictement décroissante sur [1 ; +∞[[1\,;\,+\infty[, avec un maximum f(1)=4f(1) = 4.

6. Démontrer que, pour tout réel x strictement positif, f''(x) = (-4 + 8 ln x)/x³.

Réponse : f′f' est dérivable sur R+∗\mathbb{R}_+^* comme quotient de fonctions dérivables. Avec u(x)=−4ln⁡xu(x) = -4\ln x (u′(x)=−4xu'(x) = -\frac{4}{x}) et v(x)=x2v(x) = x^2 (v′(x)=2xv'(x) = 2x) : f′′(x)=−4x×x2−2x(−4ln⁡x)x4=−4x+8xln⁡xx4=−4+8ln⁡xx3f''(x) = \frac{-\frac{4}{x} \times x^2 - 2x(-4\ln x)}{x^4} = \frac{-4x + 8x\ln x}{x^4} = \frac{-4 + 8\ln x}{x^3}

7. Montrer que la courbe possède un unique point d'inflexion B : abscisse.

Réponse : e1/2\mathrm{e}^{1/2} / e\sqrt{\mathrm{e}}

7. Montrer que la courbe possède un unique point d'inflexion B : ordonnée.

Réponse : 6e−1/26\mathrm{e}^{-1/2} / 6e\frac{6}{\sqrt{\mathrm{e}}}

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