Exercice 4 - Calcul intégral · Bac Mathématiques Amérique du Nord 2025 (jour 1)

Exercice 4 (5 points)

La partie C est indépendante des parties A et B.

Partie A

On donne ci-dessous, dans un repère orthogonal, les courbes $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$, représentations graphiques de deux fonctions définies et dérivables sur $\mathbb{R}$. L'une des deux fonctions représentées est la fonction dérivée de l'autre. On les notera $g$ et $g'$.

On précise également que:

La courbe $\mathcal{C}_1$ coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées $(0; 1)$.

La courbe $\mathcal{C}_2$ coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées $(0; 2)$ et l'axe des abscisses aux points de coordonnées $(-2; 0)$ et $(1; 0)$.

Partie C

On considère la fonction $f$ définie pour tout nombre réel $x$ par: $$f(x) = (x^2 + 3x + 2)\,\mathrm{e}^{-x}$$

4.

On notera $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal $(O;\vec{i},\vec{j})$.

On admet que la fonction $F$ définie pour tout nombre réel $x$ par $F(x) = (-x^2 - 5x - 7)\,\mathrm{e}^{-x}$ est une primitive de la fonction $f$.

Soit $\alpha$ un nombre réel positif.

Déterminer l'aire $\mathcal{A}(\alpha)$, exprimée en unité d'aire, du domaine du plan délimité par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}_f$ et les droites d'équation $x = 0$ et $x = \alpha$.