Exercice 4 - Question 5 · Bac Mathématiques Amérique du Nord 2026 (jour 2)

5. a. Donner une interprétation géométrique de ∫_a^1 f(x) dx.

Réponse : Elle représente l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = a$ et $x = 1$.

5. b. À l'aide d'une intégration par parties, justifier que : ∫_a^1 f(x)dx = -a²/2 (ln a)² - ∫_1^a x ln x dx.

Réponse : On pose $u(x) = (\ln x)^2$ et $v'(x) = x$, d'où $u'(x) = \frac{2\ln x}{x}$ et $v(x) = \frac{x^2}{2}$. Alors $\int_a^1 f(x)\,\mathrm{d}x = \left[\frac{x^2}{2}(\ln x)^2\right]_a^1 - \int_a^1 x\ln x\,\mathrm{d}x = -\frac{a^2}{2}(\ln a)^2 - \int_1^a x\ln x\,\mathrm{d}x$.

5. c. En utilisant à nouveau une intégration par parties, démontrer que : ∫_a^1 f(x)dx = -a²/2 (ln a)² + a²/2 ln a + 1/4 - a²/4.

Réponse : $\int_a^1 x\ln x\,\mathrm{d}x = \left[\frac{x^2}{2}\ln x\right]_a^1 - \int_a^1 \frac{x}{2}\,\mathrm{d}x = -\frac{a^2}{2}\ln a - \left(\frac{1}{4} - \frac{a^2}{4}\right)$. En réinjectant, on trouve le résultat.

5. d. Déterminer la limite de ∫_a^1 f(x)dx quand a tend vers 0.

Réponse : $\frac{1}{4}$ / $0{,}25$ / $0.25$