Exercice 4 · Bac Mathématiques Amérique du Nord 2024 (jour 1)

1. Calculer $I_0$.

Réponse : 2

2. a. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a $I_n \geq 0$.

Réponse : Pour tout $x \in [0 ; \pi]$, $\mathrm{e}^{-nx} > 0$ et $\sin(x) \geq 0$, donc la fonction intégrée est positive et $I_n \geq 0$.

2. b. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $I_{n+1} - I_n \leq 0$.

Réponse : Pour tout $x \in [0 ; \pi]$, $\mathrm{e}^{-(n+1)x} \leq \mathrm{e}^{-nx}$, et comme $\sin(x) \geq 0$, l'intégrande de la différence est négatif, d'où $I_{n+1} - I_n \leq 0$.

2. c. Déduire des deux questions précédentes que la suite $(I_n)$ converge.

Réponse : La suite $(I_n)$ est décroissante et minorée par 0, donc elle converge.

3. a. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $I_n \leq \int_{0}^{\pi} \mathrm{e}^{-nx}\,\mathrm{d}x$

Réponse : Sur $[0 ; \pi]$, $\sin(x) \leq 1$, donc $\mathrm{e}^{-nx}\sin(x) \leq \mathrm{e}^{-nx}$, et par croissance de l'intégrale $I_n \leq \int_0^\pi \mathrm{e}^{-nx}\,\mathrm{d}x$.

3. b. Montrer que, pour tout entier naturel $n \geq 1$, on a : $\int_{0}^{\pi} \mathrm{e}^{-nx}\,\mathrm{d}x = \frac{1 - \mathrm{e}^{-n\pi}}{n}$

Réponse : $\left[\frac{\mathrm{e}^{-nx}}{-n}\right]_0^\pi = -\frac{\mathrm{e}^{-n\pi}}{n} - \left(-\frac{1}{n}\right) = \frac{1 - \mathrm{e}^{-n\pi}}{n}$

3. c. Déduire des deux questions précédentes la limite de la suite $(I_n)$.

Réponse : 0

4. a. En intégrant par parties l'intégrale $I_n$ de deux façons différentes, établir les deux relations suivantes, pour tout entier naturel $n \geq 1$ : $I_n = 1 + \mathrm{e}^{-n\pi} - n J_n$ et $I_n = \frac{1}{n} J_n$

Réponse : Première IPP : $u=\sin(x)$, $v'=\mathrm{e}^{-nx}$ donne $I_n = \frac{1}{n}J_n$. Deuxième IPP : $u=\mathrm{e}^{-nx}$, $v'=\sin(x)$ donne $I_n = 1 + \mathrm{e}^{-n\pi} - nJ_n$.

4. b. En déduire que, pour tout entier naturel $n \geq 1$, on a $I_n = \frac{1 + \mathrm{e}^{-n\pi}}{n^2 + 1}$.

Réponse : On a $J_n = n I_n$. En substituant dans la seconde relation : $I_n = 1 + \mathrm{e}^{-n\pi} - n(n I_n) \iff I_n(1 + n^2) = 1 + \mathrm{e}^{-n\pi} \iff I_n = \frac{1 + \mathrm{e}^{-n\pi}}{n^2 + 1}$.

5. Recopier et compléter la cinquième ligne du script Python ci-dessous avec la commande appropriée.

Réponse : ```python while I >= 0.1: ```