Abitur Thüringen Mathematik 2025 · GK · Teil B · Stochastik (WTR)

In einer Großstadt wurde bei einer Erhebung der Anteil der überbelegten Haushalte an allen Haushalten erfasst. Ein Haushalt gilt als überbelegt, wenn er über zu wenige Zimmer in Bezug auf die Anzahl der im Haushalt lebenden Personen verfügt.

In $28{,}5\,\%$ aller Haushalte lebt mindestens ein Kind. Von diesen Haushalten sind $15{,}9\,\%$ überbelegt. Bei den Haushalten ohne Kind beträgt der Anteil der überbelegten Haushalte $6{,}5\,\%$.

a

Stellen Sie den Sachverhalt in einem beschrifteten Baumdiagramm dar. [3 BE]

b

Zeigen Sie, dass etwa $9{,}18\,\%$ aller Haushalte überbelegt sind. [2 BE]

e

Zwei Jahre später kann davon ausgegangen werden, dass in der Großstadt sich sowohl der Anteil der Haushalte mit mindestens einem Kind als auch der Anteil der überbelegten Haushalte an den Haushalten ohne Kind nicht verändert hat.

Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion $f$ mit

$$f(x) = \frac{0{,}285 \cdot (0{,}159 - x)}{0{,}285 \cdot (0{,}159 - x) + 0{,}715 \cdot 0{,}065} \quad \text{und} \quad 0 \le x \le 0{,}159.$$

Bestimmen Sie grafisch denjenigen Wert von $x$, für den $f(x) = 0{,}4$ gilt, und interpretieren Sie diesen Wert von $x$ sowie den Funktionswert von $x$ im Sachzusammenhang. [4 BE]

In einer Großstadt wurde bei einer Erhebung der Anteil der überbelegten Haushalte an allen Haushalten erfasst. Ein Haushalt gilt als überbelegt, wenn er über zu wenige Zimmer in Bezug auf die Anzahl der im Haushalt lebenden Personen verfügt.

In $28{,}5\,\%$ aller Haushalte lebt mindestens ein Kind. Von diesen Haushalten sind $15{,}9\,\%$ überbelegt. Bei den Haushalten ohne Kind beträgt der Anteil der überbelegten Haushalte $6{,}5\,\%$.

Unter allen Haushalten der Großstadt werden 1000 Haushalte zufällig ausgewählt. Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Anzahl der überbelegten Haushalte in der Stichprobe und wird als binomialverteilt angenommen.

c

Beurteilen Sie ohne Berechnung von Wahrscheinlichkeiten die folgende Aussage: [2 BE]

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ nimmt für 90 den größtmöglichen Wert an.

d

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von den 1000 zufällig ausgewählten Haushalten höchstens $k$ Haushalte überbelegt sind, soll mehr als $90\,\%$ betragen. Ermitteln Sie den kleinstmöglichen Wert für $k$. [4 BE]

Betrachtet wird ein Brettspiel mit zwei Würfeln, deren Seiten jeweils mit den Zahlen 1 bis 6 durchnummeriert sind. In jedem Spielzug werden beide Würfel geworfen. Wenn sich dabei die Augensumme 8 oder 9 ergibt, wird eine Ereigniskarte aufgedeckt, ansonsten nicht.

a)

Begründen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einem Spielzug eine Ereigniskarte aufgedeckt wird, $\frac{1}{4}$ beträgt.

b)

Betrachtet werden die ersten fünf Spielzüge. Beschreiben Sie im Sachzusammenhang ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term $\left(\frac{1}{4}\right)^5 + \left(\frac{3}{4}\right)^5$ berechnet werden kann.

e)

Zu dem Brettspiel gehören Plättchen, auf denen Landschaften und Tiere abgebildet sind. Es kommen genau drei verschiedene Landschaftssymbole und zwei verschiedene Tiersymbole vor. Auf jedem Plättchen sind genau zwei Landschaftssymbole und ein oder zwei Tiersymbole abgebildet, wobei kein Symbol doppelt vorkommt. Zwei Plättchen gelten als gleich, wenn auf ihnen genau die gleichen Symbole abgebildet sind.

Ermitteln Sie die Anzahl der verschiedenen Plättchen, die es bei diesem Spiel höchstens geben kann.

Betrachtet wird ein Brettspiel mit zwei Würfeln, deren Seiten jeweils mit den Zahlen 1 bis 6 durchnummeriert sind. In jedem Spielzug werden beide Würfel geworfen. Wenn sich dabei die Augensumme 8 oder 9 ergibt, wird eine Ereigniskarte aufgedeckt, ansonsten nicht.

Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Anzahl der in einem Spiel mit 60 Spielzügen insgesamt aufgedeckten Ereigniskarten.

c)

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass im Laufe dieses Spiels weniger als zwölf Ereigniskarten aufgedeckt werden.

%

d)

Die Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$. Skalieren Sie in der Abbildung die beiden Achsen, indem Sie jeweils einen geeigneten Wert ermitteln und diesen auf der zugehörigen Achse eintragen.

Bei einer Naturkostkette besitzen die meisten Kundinnen und Kunden ein Konto für Online-Bestellungen. Im Folgenden werden ausschließlich diese Personen betrachtet. $72\,\%$ der Personen sind jünger als 50 Jahre. $18\,\%$ der Personen sind jünger als 50 Jahre und wohnen nicht in einer Großstadt. Der Anteil der Personen, die in einer Großstadt wohnen, beträgt $75\,\%$. Es soll davon ausgegangen werden, dass in einer zufälligen Auswahl von Personen die Anzahl derjenigen, die in einer Großstadt wohnen, binomialverteilt ist.

a)

Stellen Sie den Sachzusammenhang in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar.

[3 BE]

Verwenden Sie die Ereignisse $J$: „Die Person ist jünger als 50 Jahre“ und $G$: „Die Person wohnt in einer Großstadt“ (Dezimalzahlen oder Prozentangaben eingeben).

$J$

$\bar{J}$

Summe

$G$

$\bar{G}$

Summe

$1$

b)

Beurteilen Sie die folgende Aussage:

[3 BE]

„Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person entweder in einer Großstadt wohnt oder nicht jünger als 50 Jahre ist, ist kleiner als 60 %.“

Bei einer Naturkostkette besitzen die meisten Kundinnen und Kunden ein Konto für Online-Bestellungen. Im Folgenden werden ausschließlich diese Personen betrachtet. $72\,\%$ der Personen sind jünger als 50 Jahre. $18\,\%$ der Personen sind jünger als 50 Jahre und wohnen nicht in einer Großstadt. Der Anteil der Personen, die in einer Großstadt wohnen, beträgt $75\,\%$. Es soll davon ausgegangen werden, dass in einer zufälligen Auswahl von Personen die Anzahl derjenigen, die in einer Großstadt wohnen, binomialverteilt ist.

c

Beschreiben Sie im Sachzusammenhang ein Zufallsexperiment, bei dem die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses wie folgt berechnet werden kann:

$$\sum_{k=40}^{110} \binom{160}{k} \cdot 0{,}75^k \cdot 0{,}25^{160-k}$$

Geben Sie die Bedeutung des Terms im Sachzusammenhang an.

Die Naturkostkette produziert Gläser mit veganem Brotaufstrich. Diese Gläser werden in Kisten verpackt; jede Kiste enthält 50 Gläser. Für die Naturkostkette belaufen sich die Gesamtkosten auf 2,00 € pro Glas.

Ein Glas weist mit einer Wahrscheinlichkeit von 10 % einen optischen Mangel auf. Die Naturkostkette legt daher generell für die Bezahlung einer gelieferten Kiste Folgendes fest:

Wenn höchstens sechs Gläser diesen Mangel aufweisen, so muss für die Kiste der vollständige Preis bezahlt werden.

Wenn genau sieben oder genau acht Gläser diesen Mangel aufweisen, so muss für die Kiste der halbe Preis bezahlt werden.

Wenn mehr als acht Gläser diesen Mangel aufweisen, so muss für die Kiste nichts bezahlt werden.

Die in den folgenden Teilaufgaben aufgeführten Näherungswerte für Wahrscheinlichkeiten sollen bei Verwendung in weiteren Rechnungen als exakte Werte betrachtet werden.

d

Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer der Produktion entnommenen Kiste höchstens sechs Gläser den Mangel aufweisen, etwa 0,77 beträgt.

e

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer der Produktion entnommenen Kiste genau sieben oder genau acht Gläser diesen Mangel aufweisen, beträgt etwa 0,17. Es wird davon ausgegangen, dass bei jeder Lieferung alle Gläser von der Kundin bzw. vom Kunden überprüft werden und die Anzahl der Gläser mit diesem Mangel der Naturkostkette wahrheitsgemäß rückgemeldet wird. Ermitteln Sie den geringsten Preis pro Glas mit veganem Brotaufstrich auf Cent genau, so dass die Naturkostkette im Mittel einen Gewinn von mindestens 0,50 € pro Glas erwarten kann.