Abitur Thüringen Mathematik 2020 · GK · Teil B · Stochastik (WTR)

In einem großen Unternehmen sind 29 % der Beschäftigten weiblich.

1 Es werden 40 Beschäftigte zufällig ausgewählt. Die Anzahl der weiblichen Beschäftigten unter den ausgewählten kann durch eine binomialverteilte Zufallsgröße $X$ beschrieben werden.

1 Es werden 40 Beschäftigte zufällig ausgewählt. Die Anzahl der weiblichen Beschäftigten unter den ausgewählten kann durch eine binomialverteilte Zufallsgröße $X$ beschrieben werden.

a)

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 12 der ausgewählten Beschäftigten weiblich sind. [2 BE]

b)

Beschreiben Sie die Bedeutung der folgenden mathematischen Aussage im Sachzusammenhang: [3 BE]

$$\sum_{k=0}^{10} \binom{40}{k} \cdot 0{,}29^k \cdot 0{,}71^{40-k} \approx 0{,}36$$

c)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den 40 ausgewählten Beschäftigten die Anzahl derjenigen, die nicht weiblich sind, dreimal so groß ist wie die Anzahl der weiblichen. [2 BE]

d)

Begründen Sie ohne Berechnung von Wahrscheinlichkeiten, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ bei 11 oder 12 den größten Wert hat. [3 BE]

In einem großen Unternehmen sind 29 % der Beschäftigten weiblich.

1 Es werden 40 Beschäftigte zufällig ausgewählt. Die Anzahl der weiblichen Beschäftigten unter den ausgewählten kann durch eine binomialverteilte Zufallsgröße $X$ beschrieben werden.

2 Unter allen Beschäftigten wurde eine Befragung zur Zufriedenheit am Arbeitsplatz durchgeführt. Dabei ergab sich, dass $3{,}5\,\%$ der weiblichen und $10{,}5\,\%$ der anderen Beschäftigten unzufrieden sind. Unter allen Beschäftigten wird eine Person zufällig ausgewählt.

Das abgebildete Baumdiagramm stellt den Sachverhalt dar:

a)

Ermitteln Sie die Werte von $x$ und $y$.

b)

Die ausgewählte Person ist an ihrem Arbeitsplatz unzufrieden. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie nicht weiblich ist.

c)

Für eine Abteilung des Unternehmens ergab die Befragung, dass $4\,\%$ der weiblichen und $10\,\%$ der anderen Beschäftigten an ihrem jeweiligen Arbeitsplatz unzufrieden sind. Unter allen Beschäftigten dieser Abteilung ist der Anteil der unzufriedenen Beschäftigten, die nicht weiblich sind, fünfmal so groß wie der Anteil der unzufriedenen weiblichen Beschäftigten. Bestimmen Sie für diese Abteilung den Anteil der weiblichen Beschäftigten.

Das Postunternehmen Q, das jährlich etwa 60 Millionen Briefe befördert, stellt 95 % aller Briefe am ersten Werktag nach ihrer Einlieferung zu.

1 Für 2000 zufällig ausgewählte Briefe wird untersucht, ob sie am ersten Werktag nach ihrer Einlieferung zugestellt werden.

a)

Begründen Sie, dass die Binomialverteilung dafür geeignet ist, Vorhersagen zum Ergebnis der Untersuchung zu treffen. [2 BE]

b)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: [3 BE]

$A$: „Mindestens 1900 der Briefe werden am ersten Werktag nach ihrer Einlieferung zugestellt.“

$B$: „Mehr als 100 der Briefe werden nicht am ersten Werktag nach ihrer Einlieferung zugestellt.“

c)

Entscheiden Sie für jeden der beiden Terme I und II, ob er die Wahrscheinlichkeit dafür angibt, dass mindestens 100 der ausgewählten Briefe nicht am ersten Werktag nach ihrer Einlieferung zugestellt werden. Begründen Sie jeweils Ihre Entscheidung. [4 BE]

$$\text{I}\quad 1 - \sum_{k=101}^{2000} \left( \binom{2000}{k} \cdot 0{,}05^k \cdot 0{,}95^{2000-k} \right)$$

Term I gibt die Wahrscheinlichkeit an:

Ja

Nein

$$\text{II}\quad \sum_{k=0}^{1900} \left( \binom{2000}{k} \cdot 0{,}95^k \cdot 0{,}05^{2000-k} \right)$$

Term II gibt die Wahrscheinlichkeit an:

Ja

Nein

d)

Ermitteln Sie, wie viele Briefe zufällig ausgewählt werden müssten, damit die Standardabweichung für die Anzahl der Briefe, die am ersten Werktag nach ihrer Einlieferung zugestellt werden, doppelt so groß ist wie bei 2000 Briefen. [3 BE]

Das Postunternehmen Q, das jährlich etwa 60 Millionen Briefe befördert, stellt 95 % aller Briefe am ersten Werktag nach ihrer Einlieferung zu.

Eine große Firma versendet einen Teil ihrer Briefe mit dem Postunternehmen Q, den anderen Teil mit einem anderen Postunternehmen. Ein Brief dieser Firma wird zufällig ausgewählt und daraufhin untersucht, ob er am ersten Werktag nach seiner Einlieferung zugestellt wird. Die Abbildung 1 stellt den Sachverhalt dar.

a)

Berechnen Sie für $a = 0{,}25$ die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der ausgewählte Brief nicht am ersten Werktag nach seiner Einlieferung zugestellt wird. [2 BE]

b)

Prüfen Sie für $a = 0{,}25$, ob die Ereignisse „Der ausgewählte Brief wird vom Postunternehmen Q befördert." und „Der ausgewählte Brief wird am ersten Werktag nach seiner Einlieferung zugestellt." stochastisch unabhängig sind. [2 BE]

c)

Der ausgewählte Brief wird nicht am ersten Werktag nach seiner Einlieferung zugestellt. Betrachtet wird die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er vom Postunternehmen Q befördert wurde.

Einer der in der Abbildung 2 gezeigten Graphen stellt diese Wahrscheinlichkeit in Abhängigkeit von a dar. Geben Sie diesen Graphen an und begründen Sie Ihre Angabe, ohne zu rechnen. [4 BE]