Abitur Thüringen Mathematik 2025 · GK · Teil B · Analytische Geometrie (WTR)

Ein Partyzelt wird beschrieben durch einen zusammengesetzten Körper bestehend aus einem geraden Prisma und einer geraden Pyramide (vgl. Abbildung 1). Die Grundfläche des Prismas ist ein Achteck. Abbildung 2 zeigt den zusammengesetzten Körper in einem Koordinatensystem.

Die Punkte $A(5|0|0)$, $B(4|3|0)$, $C(0|5|0)$, $D(5|0|3)$, $E(4|3|3)$, $F(0|5|3)$ und $S(0|0|5)$ sind Eckpunkte des zusammengesetzten Körpers. Die $x_1x_3$-Ebene und die $x_2x_3$-Ebene des Koordinatensystems sind Symmetrieebenen des zusammengesetzten Körpers. Die $x_1x_2$-Ebene beschreibt die Horizontale. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht $1\text{ m}$ in der Realität.

a)

Abbildung 3 zeigt einen Teil der Grundfläche des Prismas in der $x_1x_2$-Ebene. Vervollständigen Sie die Grundfläche in Abbildung 3.

b)

An allen acht gleich langen Dachkanten, die in der Spitze des Partyzeltes zusammenlaufen, soll jeweils eine Girlande angebracht werden. Dabei muss jede Girlande $60\text{ cm}$ länger als die zugehörige Dachkante sein. Bestimmen Sie die Gesamtlänge aller Girlanden.

d)

Das Dreieck $EFS$ liegt in der Ebene mit der Gleichung $x_1 + 2x_2 + 5x_3 = 25$.

Berechnen Sie die Größe des Neigungswinkels der Dachfläche, die durch das Dreieck $EFS$ beschrieben wird, gegenüber der Horizontalen.

Ein Partyzelt wird beschrieben durch einen zusammengesetzten Körper bestehend aus einem geraden Prisma und einer geraden Pyramide (vgl. Abbildung 1). Die Grundfläche des Prismas ist ein Achteck. Abbildung 2 zeigt den zusammengesetzten Körper in einem Koordinatensystem.

Die Punkte $A(5|0|0)$, $B(4|3|0)$, $C(0|5|0)$, $D(5|0|3)$, $E(4|3|3)$, $F(0|5|3)$ und $S(0|0|5)$ sind Eckpunkte des zusammengesetzten Körpers. Die $x_1x_3$-Ebene und die $x_2x_3$-Ebene des Koordinatensystems sind Symmetrieebenen des zusammengesetzten Körpers. Die $x_1x_2$-Ebene beschreibt die Horizontale. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht $1\text{ m}$ in der Realität.

c)

Bestimmen Sie rechnerisch einen Normalenvektor der Ebene, in der das Dreieck $EFS$ liegt.

$\vec{n} =$

e)

Im Inneren des Partyzelts befindet sich eine gerade Schiene, deren Enden im Modell der Punkt $S$ und der Mittelpunkt $M(2|4|3)$ der Strecke $\overline{EF}$ sind. Ein Strahler bewegt sich entlang der gesamten Schiene und sendet dabei einen Laserstrahl in der Richtung, die durch den Vektor $\begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}$ dargestellt werden kann, in den Innenraum des Partyzelts aus.

In einer Zeltwand befindet sich an einer Stelle ein kleines Loch. Diese Stelle wird durch den Punkt $L(-2|-4|0{,}5)$ beschrieben. Um zu untersuchen, ob durch dieses Loch der Laserstrahl nach außen dringen kann, wird der Lösungsansatz

$$\vec{OP_t} + r \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -4 \\ 0{,}5 \end{pmatrix} \text{ betrachtet, wobei } \vec{OP_t} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} \text{ mit } t \in [0;1] \text{ gilt.}$$

Erläutern Sie die geometrischen Sachverhalte, die diesem Lösungsansatz zugrunde liegen, und deuten Sie diese im Sachzusammenhang.

Aufgabe

Die Abbildung zeigt die Pyramide $ABCDS$. Ihre Grundfläche $ABCD$ ist ein Drachenviereck mit den Eckpunkten $A(0|0|0)$, $B(2|2|0)$, $C(0|6|0)$ und $D(-2|2|0)$. Die Spitze der Pyramide liegt im Punkt $S(0|0|6)$.

a)

Berechnen Sie die Länge der kürzesten und die Länge der längsten der acht Kanten sowie das Volumen der Pyramide ABCDS.

[5 BE]

c)

Die Seitenfläche $BCS$ der Pyramide liegt in der Ebene $E$ mit der Gleichung $2x + y + z = 6$.

Bestimmen Sie die Größe des Winkels, den die Ebene $E$ mit der xy-Ebene einschließt.

[3 BE]

°

d)

Der Punkt $B$ wird nun so parallel zur y-Achse verschoben, dass für den dadurch entstehenden Punkt $B'$ gilt:

Das Viereck $AB'CD$ hat in $B'$ einen rechten Innenwinkel.

Um die Koordinaten von $B'$ zu bestimmen, kann folgender Ansatz verwendet werden:

$$\begin{pmatrix} 2 \\ y \\ 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 2 \\ y - 6 \\ 0 \end{pmatrix} = 0$$

Erläutern Sie diesen Ansatz.

[3 BE]

Aufgabe

Die Abbildung zeigt die Pyramide $ABCDS$. Ihre Grundfläche $ABCD$ ist ein Drachenviereck mit den Eckpunkten $A(0|0|0)$, $B(2|2|0)$, $C(0|6|0)$ und $D(-2|2|0)$. Die Spitze der Pyramide liegt im Punkt $S(0|0|6)$.

b)

Die Seitenfläche $BCS$ der Pyramide liegt in der Ebene $E$.

Ermitteln Sie eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform.

(zur Kontrolle: $2x + y + z = 6$)