Aufgabe MMS 1 - 2: Graphen deuten · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (CAS) 2024

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h$ mit $h(x) = (1-x^2) \cdot \mathrm{e}^x$. Der Graph von $h$ wird mit $H$ bezeichnet.

Gegeben ist die in $]{-\infty}; -1]$ definierte Funktion $k$ mit $k(x) = \int_x^{-1} h(t)\,\mathrm{d}t$. Ihr Graph wird mit $K$ bezeichnet. Abbildung 1 zeigt $H$ und $K$. Für $x \to -\infty$ kommt $K$ der Gerade mit der Gleichung $y = -\frac{4}{\mathrm{e}}$ beliebig nahe.

Die Funktion $h$ gehört zur Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $h_a$ mit $h_a(x) = \frac{1}{a} \cdot (a-x^2) \cdot \mathrm{e}^x$ und $a \in \mathbb{R}^+$. Der Graph von $h_a$ wird mit $H_a$ bezeichnet.

f)

Die Schnittpunkte von $H_a$ mit der x-Achse und der Hochpunkt von $H_a$ sind die Eckpunkte eines Dreiecks. Dieses Dreieck rotiert um die x-Achse.

Die in $\mathbb{R}^+$ definierte Funktion $v$ gibt das Volumen dieses Rotationskörpers in Abhängigkeit von $a$ an. Abbildung 2 zeigt drei Graphen $G_1$, $G_2$ und $G_3$, von denen einer die Ableitungsfunktion $v'$ von $v$ darstellt.

Beurteilen Sie ohne Rechnung und unter Verwendung der Tatsache, dass die y-Koordinate des Hochpunkts von $H_a$ umso größer ist, je größer der Wert von $a$ ist, welcher Graph dies ist.