Aufgabe 1 - Graphen deuten · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analysis (CAS) 2019

Im Rahmen eines Unterrichtsprojekts wurden unterschiedliche Kugelbahnkörper gefertigt und hinsichtlich ihrer Eigenschaften untersucht. Zwei dieser Bahnkörper sind in Abbildung 1 schematisch dargestellt.

Im Längsschnitt jeder der Bahnen F und G

kann die Profillinie der Bahn modellhaft mithilfe einer Funktion beschrieben werden;

wird der Startpunkt, von dem aus die Kugel die Bahn durchläuft, durch den Punkt $S(0|2)$ dargestellt, der Endpunkt durch den Punkt $E\left(2\middle|\frac{1}{2}\right)$.

Der horizontale Untergrund, auf dem die beiden Bahnkörper stehen, wird jeweils durch die x-Achse beschrieben; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.

Die Beschreibung der Profillinie der Bahn F erfolgt mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f\colon x \mapsto \frac{3}{11}x^3 - \frac{81}{44}x + 2$.

Die Bahn G verläuft gerade. Die Beschreibung ihrer Profillinie erfolgt mithilfe einer Funktion $g$.

Die Körper der Bahnen F und G wurden von einem einzigen massiven Kunststoffquader mit den Seitenlängen $200\text{ cm}$, $250\text{ cm}$ und $10\text{ cm}$ abgeschnitten (vgl. Abbildung 2).

Für jede der Bahnen F und G wurde in bestimmten horizontalen Entfernungen vom Startpunkt jeweils die Geschwindigkeit der Kugel gemessen. Die Messwerte können der Tabelle entnommen werden:

Die Profillinie einer weiteren Bahn H kann durch die Funktion $h\colon x \mapsto 2 - \sqrt{\frac{25}{8}x - x^2}$ mit $x \in [0; 2]$ beschrieben werden. Abbildung 3 zeigt den Graphen von $h$ sowie den Punkt $M\left(\frac{25}{16}\middle|2\right)$.

Für jede der Bahnen F und G wurde in bestimmten horizontalen Entfernungen vom Startpunkt jeweils die Geschwindigkeit der Kugel gemessen. Die Messwerte können der Tabelle entnommen werden:

Entfernung in m

0

1,0

1,5

2,0

Geschwindigkeit in $\frac{\text{m}}{\text{s}}$

Messwerte I

0

3,6

4,4

5,1

Messwerte II

0

5,2

5,6

5,1

i)

Ordnen Sie die Messwerte I und II jeweils einer der beiden Bahnen zu und begründen Sie Ihre Zuordnung.

A

Bahn G

B

Bahn F

A

Bahn F

B

Bahn G