Aufgabe 1 - Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebezie… · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analytische Geometrie (CAS

a Bestimmen Sie jeweils eine Gleichung von g1 und g2. Geben Sie für die dabei verwendeten Parameter jeweils das Intervall an, das dem erfassten Zeitraum entspricht.

Lösung: $g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 14 \\ -5 \end{pmatrix} + p \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}, p \in \mathbb{R}$; $g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 11 \\ 9 \\ -15 \end{pmatrix} + q \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix}, q \in \mathbb{R}$; Intervalle: $p \in [0; 7], q \in [0; 7]$

b Geben Sie die Koordinaten der Punkte an, die die Positionen von U1 um 12.27 Uhr darstellen.

Lösung: (18|-7|-5)

b Geben Sie die Koordinaten der Punkte an, die die Positionen von U2 um 12.27 Uhr darstellen.

Lösung: (-3|-12|-1)

d Stellen Sie die Bewegungen der beiden U-Boote für den gesamten erfassten Zeitraum von 12.20 Uhr bis 12.27 Uhr als Projektion in die x1x2-Ebene grafisch dar.

Lösung: Grafische Darstellung der Strecken in der $x_1x_2$-Ebene: $U_1$: von $(4|14)$ bis $(18|-7)$. $U_2$: von $(11|9)$ bis $(-3|-12)$.

d Begründen Sie anhand dieser beiden Projektionen, dass sich die Geraden, entlang derer sich U1 und U2 bewegen, nicht schneiden.

Lösung: Die beiden Geraden, entlang derer sich die beiden U-Boote im Modell bewegen, schneiden sich zwar in beiden Projektionen, die x2-Koordinaten der zugehörigen Schnittpunkte stimmen jedoch nicht überein.

e Beschreiben Sie, wie man mithilfe der Gleichungen von g1 und g2 zeigen könnte, dass die beiden Geraden windschief zueinander sind. Geben Sie für jeden Schritt des beschriebenen Vorgehens die Bedeutung hinsichtlich der gegenseitigen Lage der Geraden an.

Lösung: Man könnte zeigen, dass - die Richtungsvektoren von $g_1$ und $g_2$ nicht kollinear sind, die beiden Geraden also nicht parallel sind, und dass - die Gleichung $\begin{pmatrix} 4 \\ 14 \\ -5 \end{pmatrix} + p \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11 \\ 9 \\ -15 \end{pmatrix} + q \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix}, p, q \in \mathbb{R}$, keine Lösung hat, $g_1$ und $g_2$ sich also nicht schneiden.

h Untersuchen Sie im Modell, ob es einen Zeitpunkt gibt, zu dem eines der beiden U-Boote von der Forschungsstation aus gesehen genau hinter dem anderen U-Boot liegt.

Lösung: Zweieinhalb Minuten nach Beginn des erfassten Zeitraums kann eines der U-Boote vom Sonarsystem der Station nicht erfasst werden.