Aufgabe 2 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (CAS)

BMX-Fahrräder sind speziell für das Gelände ausgelegte Sportgeräte. Für den professionellen Einsatz dieser Fahrräder soll auf horizontalem Untergrund eine 3 m breite Sprungschanze installiert werden. Im Längsschnitt der Schanze kann deren Profillinie für $x \in [-8; 0]$ modellhaft durch eine der Funktionen $f_a$ beschrieben werden. Der Startpunkt, von dem aus die Schanze durchfahren wird, wird durch den Punkt $S_a(-8 \mid f_a(-8))$ dargestellt, der Absprungpunkt durch $A_a(0 \mid f_a(0))$. Der Untergrund wird im Längsschnitt durch die x-Achse beschrieben; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 1 m in der Wirklichkeit.

Für die Schanze wurde $a = 3{,}6$ gewählt. An die Schanze schließen sich aufeinanderfolgende Hügel aus Erde an. Die Profillinie dieser Hügel wird im Modell für $x \ge 0$ durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $g \colon x \mapsto \frac{5}{4} \cdot \sin\left(\frac{\pi}{6}x\right) + \frac{3}{2}$ beschrieben. Im Modell wird von senkrechten Seitenflächen der Hügel ausgegangen, die jeweils durch eine Böschung gestützt werden; dazwischen beträgt die Breite der Hügel 4 m.

Die Flugbahnen der Sportler nach dem Absprung lassen sich im Modell vereinfachend mithilfe quadratischer Funktionen beschreiben, deren Graphen im Punkt A ohne Knick an den Graphen von $f_{3{,}6}$ anschließen.

c)

Beschreiben Sie, wie der Graph von $g$ aus dem Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $x \mapsto \sin(x)$ hervorgeht.

d)

Begründen Sie, dass $g$ den Wertebereich $[\frac{1}{4}; \frac{11}{4}]$ besitzt.