Aufgabe 1 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR)

Aufgabe 1

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{4}x^3 - 3x^2 + 9x - 5$ und Definitionsmenge $\mathbb{R}$. Abbildung 1 zeigt den Graphen $G_f$ von $f$.

Die Funktion $f$ gehört zur Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a$ mit $f_a(x) = \frac{1}{4}x^3 - 3x^2 + ax - 5$ und $a \in \mathbb{R}$. Der Graph von $f_a$ wird mit $G_a$ bezeichnet.

b)

Betrachtet wird die Gleichung $f(x) = c$ mit $c \in \mathbb{R}$. Ermitteln Sie mithilfe von Abbildung 1 die Anzahl der Lösungen dieser Gleichung in Abhängigkeit von $c$.

c)

Durch Verschiebung von $G_f$ um $4$ in negative x-Richtung und um $1$ in positive y-Richtung entsteht der Graph einer Funktion $g$.

Geben Sie einen Term von $g$ an, an dem man diese Verschiebung erkennen kann.

d)

Ein vereinfachter Term von $g$ ist $g(x) = \frac{1}{4}x^3 - 3x$. Begründen Sie mithilfe der Funktion $g$, dass der Graph von $f$ symmetrisch bezüglich des Punkts $(4 \mid -1)$ ist.