Aufgabe 2 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR)

Aufgabe 2

Eine vertikal stehende Getränkedose hat die Form eines geraden Zylinders. Die Lage des gemeinsamen Schwerpunkts S von Dose und enthaltener Flüssigkeit hängt von der Füllhöhe der Flüssigkeit über dem Dosenboden ab. Ist die Dose vollständig gefüllt, so beträgt die Füllhöhe 15 cm (vgl. Abbildung 2).

Abbildung 3 zeigt den Graphen $G_h$ der Funktion h, die für $0 \le x \le 15$ die Höhe des Schwerpunkts S über dem Dosenboden in Zentimetern angibt; dabei ist x die Füllhöhe in Zentimetern. $G_h$ hat den Tiefpunkt $(3 \mid 3)$.

a)

Ermitteln Sie grafisch die Füllhöhen, bei denen der Schwerpunkt auf halber Höhe der Dose liegt. [2 BE]

cm

cm

b)

Die zunächst leere Dose wird langsam mit Flüssigkeit gefüllt, bis die maximale Füllhöhe von $15\text{ cm}$ erreicht ist. Beschreiben Sie die Bewegung des Schwerpunkts $S$ während des Füllvorgangs. Stellen Sie für den Moment, in dem sich der Schwerpunkt in seiner geringsten Höhe befindet, Dose, Füllhöhe und Schwerpunkt schematisch dar und beschreiben Sie die Besonderheit dieser Situation. [4 BE]

c)

Für die Funktion $h$ gilt $h(x) = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} + \frac{8}{x+1}$. Bestimmen Sie rechnerisch die Füllhöhen, bei denen der Schwerpunkt $4\text{ cm}$ über dem Dosenboden liegt. [4 BE]

cm

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