Abitur Niedersachsen Mathematik 2024 · LK · Teil A · Analysis

Die Abbildung zeigt den Graphen $\text{G}_f$ der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x) = 2 \cdot \sin\left(\frac{1}{2}x\right)$.

a)

Beurteilen Sie mithilfe der Abbildung, ob der Wert des Integrals $\int_{-2}^{8} f(x)\,\mathrm{d}x$ negativ ist.

Die Abbildung zeigt den Graphen $\text{G}_f$ der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x) = 2 \cdot \sin\left(\frac{1}{2}x\right)$.

b)

Weisen Sie rechnerisch nach, dass die folgende Aussage zutrifft:

Die Tangente an $G_f$ im Koordinatenursprung ist die Gerade durch die Punkte $(-1|-1)$ und $(1|1)$.

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a$ mit $f_a(x) = ax^3 + ax^2$ und $a \in \mathbb{R}^+$.

a

Geben Sie den Wert von $a$ an, so dass der Punkt $(1|6)$ auf dem Graphen von $f_a$ liegt.

$a =$

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a$ mit $f_a(x) = ax^3 + ax^2$ und $a \in \mathbb{R}^+$.

b

Berechnen Sie in Abhängigkeit von $a$ den Inhalt der Fläche, die der Graph von $f_a$ mit der $x$-Achse einschließt.

$A =$

Die Abbildung zeigt den Graphen $\text{G}_f$ der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x) = 2 \cdot \sin\left(\frac{1}{2}x\right)$.

Betrachtet wird die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a$ mit $f_a(x) = x\cdot e^{a\cdot x}$ und $a \in \mathbb{R}$, $a \neq 0$. Für jeden Wert von $a$ besitzt die Funktion $f_a$ genau eine Extremstelle.

a

Begründen Sie, dass der Graph von $f_a$ für $x < 0$ unterhalb der x-Achse verläuft. [2 BE]

b

Beide Abbildungen zeigen einen Graphen der Schar, einen der beiden für einen positiven Wert von $a$. Entscheiden Sie, welche Abbildung dies ist, und begründen Sie Ihre Entscheidung. [3 BE]

Ihre Antworten wurden erfasst. Vergleichen Sie Ihre Begründungen bitte mit der Musterlösung.

Gegeben ist für jede positive reelle Zahl $a$ die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f_a$ mit $f_a(x) = a \cdot x^2$.

Die Abbildung zeigt den Graphen von $f_{\frac{1}{2}}$ sowie die Tangente $t$ an den Graphen von $f_{\frac{1}{2}}$ im Punkt $\left(4 \mid f_{\frac{1}{2}}(4)\right)$.

Aufgabe 1

Gegeben ist für jede positive reelle Zahl $a$ die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f_a$ mit $f_a(x) = a \cdot x^2$. Die Abbildung zeigt den Graphen von $f_{\frac{1}{2}}$ sowie die Tangente $t$ an den Graphen von $f_{\frac{1}{2}}$ im Punkt $(4 \mid f_{\frac{1}{2}}(4))$.

a

Geben Sie anhand der Abbildung eine Gleichung der Tangente $t$ an. [1 BE]

b

Weisen Sie nach, dass für jeden Wert $u \in \mathbb{R}$ die Tangente an den Graphen von $f_a$ im Punkt $(u \mid f_a(u))$ die $y$-Achse im Punkt $(0 \mid -f_a(u))$ schneidet. [4 BE]

Aufgabe 2

Für eine Zahl $a > 0$ zeigt die Abbildung den Graphen $G$ der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x) = x^3 - 2ax^2 + a^2x$ sowie die Gerade $h$. $G$ und $h$ schneiden sich im Koordinatenursprung und $h$ verläuft senkrecht zur Tangente an $G$ im Koordinatenursprung. Zudem berühren sich $G$ und die $x$-Achse im Punkt $(a \mid 0)$.

Betrachtet wird dasjenige Rechteck, das die folgenden Eigenschaften besitzt:

Die beiden gemeinsamen Punkte von $G$ und der $x$-Achse sind zwei benachbarte Eckpunkte des Rechtecks.

Eine Diagonale liegt auf der Gerade $h$.

Skizzieren Sie das Rechteck in der Abbildung und zeigen Sie, dass der Flächeninhalt des Rechtecks unabhängig von $a$ ist. [5 BE]

Gegeben ist für jede positive reelle Zahl $a$ die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f_a$ mit $f_a(x) = a \cdot x^2$.

Die Abbildung zeigt den Graphen von $f_{\frac{1}{2}}$ sowie die Tangente $t$ an den Graphen von $f_{\frac{1}{2}}$ im Punkt $\left(4 \mid f_{\frac{1}{2}}(4)\right)$.

Die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ hat die erste Ableitungsfunktion $f'$ mit $f'(x) = 2 \cdot \mathrm{e}^{2x}$ und es gilt $f(0) = 1$.

Leitet man die erste Ableitungsfunktion $f'$ ab, so erhält man die zweite Ableitungsfunktion $f''$ von $f$. Entsprechend entsteht die hundertste Ableitungsfunktion $f^{(100)}$ von $f$. Der Graph der hundertsten Ableitungsfunktion $f^{(100)}$ lässt sich aus dem Graphen von $f$ durch eine Verschiebung in $x$-Richtung erzeugen.

Ermitteln Sie, um wie viele Einheiten der Graph von $f$ dazu in $x$-Richtung zu verschieben ist.