Abitur Niedersachsen Mathematik 2024 · GK · Teil B · Analytische Geometrie (CAS)

Die Abbildung zeigt modellhaft eine Eingangsüberdachung, die an einem Hausdach angebracht ist. Die Eingangsüberdachung besteht aus einer dreieckigen und zwei viereckigen Dachflächen, deren Eckpunkte im verwendeten Koordinatensystem durch die Punkte $A(3|0|0)$, $B(0|0|0)$, $C(1{,}5|-1{,}2|1)$, $D(3|2|0)$, $E(0|2|0)$ und $F(1{,}5|0{,}8|1)$ dargestellt werden. Die Punkte $A$, $B$ und $C$ markieren Befestigungspunkte am Hausdach. Es gilt $\vec{AD} = \vec{BE} = \vec{CF}$ und $|\vec{DF}| = |\vec{EF}|$.

Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität. Alle Materialstärken werden im Folgenden vernachlässigt. Der Übergang vom Hausdach zur vertikalen Hauswand liegt im Modell in der x-Achse.

a)

Die beiden viereckigen Dachflächen der Eingangsüberdachung haben jeweils einen Flächeninhalt von etwa $3{,}6\text{ m}^2$. Die Eingangsüberdachung soll mit Dachziegeln gedeckt werden. Bestimmen Sie den Inhalt der zu bedeckenden Fläche.

b)

Zur Beleuchtung werden an einer Strebe, die im Modell zwischen den Punkten $A$ und $E$ verläuft, zwei Lampen so befestigt, dass deren Befestigungspunkte diese Strebe in drei gleich lange Abschnitte teilen. Bestimmen Sie für einen dieser Befestigungspunkte die Koordinaten im Modell.

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Die Abbildung zeigt modellhaft eine Eingangsüberdachung, die an einem Hausdach angebracht ist. Die Eingangsüberdachung besteht aus einer dreieckigen und zwei viereckigen Dachflächen, deren Eckpunkte im verwendeten Koordinatensystem durch die Punkte $A(3|0|0)$, $B(0|0|0)$, $C(1{,}5|-1{,}2|1)$, $D(3|2|0)$, $E(0|2|0)$ und $F(1{,}5|0{,}8|1)$ dargestellt werden. Die Punkte $A$, $B$ und $C$ markieren Befestigungspunkte am Hausdach. Es gilt $\vec{AD} = \vec{BE} = \vec{CF}$ und $|\vec{DF}| = |\vec{EF}|$.

Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität. Alle Materialstärken werden im Folgenden vernachlässigt. Der Übergang vom Hausdach zur vertikalen Hauswand liegt im Modell in der x-Achse.

c)

Die in der Abbildung dargestellte Fläche des Hausdachs liegt im Modell in der Ebene mit der Gleichung $3y + 3{,}6z = 0$. Bestimmen Sie die Größe des Winkels im Inneren des Hauses zwischen Hausdach und vertikaler Hauswand. Ermitteln Sie für die Ebene, in der die dreieckige Dachfläche der Eingangsüberdachung liegt, eine Gleichung in Koordinatenform.

d)

Das Sonnenlicht, das zu einem bestimmten Zeitpunkt auf die Eingangsüberdachung trifft, kann durch parallele Geraden mit dem Richtungsvektor $\begin{pmatrix}-0{,}9 \\ -1 \\ -0{,}6\end{pmatrix}$ beschrieben werden. Erläutern Sie im Sachzusammenhang die Schlussfolgerungen, die in Verbindung mit der Abbildung aus den folgenden Schritten gezogen werden können:

$$\text{I} \quad \begin{pmatrix}x \\ 0 \\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 2 \\ 0\end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix}-0{,}9 \\ -1 \\ -0{,}6\end{pmatrix} \text{ liefert } \lambda = 2 \text{ und somit } (-1{,}8 | 0 | -1{,}2).$$

$$\text{II} \quad -1{,}8 < 0 \text{ und } -2{,}5 < -1{,}2 < 0$$

e)

Die in der Abbildung dargestellten sechs Punkte $A$ bis $F$ sind die Eckpunkte eines Körpers $K$, der von fünf Flächen begrenzt wird. $K$ wird von der Ebene mit der Gleichung $y = s$ in einem Vieleck geschnitten, falls $-1{,}2 < s < 2$ gilt. Geben Sie die Anzahl der Ecken des Vielecks in Abhängigkeit von $s$ an und geben Sie das Intervall aller Werte von $s$ an, so dass die zugehörigen Vielecke alle dieselbe Form und denselben Flächeninhalt besitzen.

Abbildung 1 zeigt die Pyramide $ABCDS$ mit $A(0|0|0)$, $B(2|0|0)$, $C(2|2|0)$, $D(0|4|0)$ und $S(0|0|3{,}5)$.

a)

Begründen Sie, dass die Grundfläche der Pyramide ein Trapez ist. Berechnen Sie das Volumen der Pyramide.

VE

b)

Zeigen Sie, dass das Dreieck CDS rechtwinklig ist.

c)

In Abbildung 2 ist ein Teil eines Netzes der Pyramide ABCDS dargestellt. Ergänzen Sie Abbildung 2 so, dass ein vollständiges Netz der Pyramide ABCDS dargestellt ist.

Abbildung 1 zeigt die Pyramide $ABCDS$ mit $A(0|0|0)$, $B(2|0|0)$, $C(2|2|0)$, $D(0|4|0)$ und $S(0|0|3{,}5)$.

d)

Die Seitenfläche CDS der Pyramide liegt in der Ebene E.

Bestimmen Sie eine Gleichung von E in Koordinatenform.

(zur Kontrolle: $7x + 7y + 8z = 28$)

e)

Berechnen Sie die Größe des Winkels zwischen der Ebene E und der Ebene F, in der die Seitenfläche ADS der Pyramide liegt.

°

f)

Betrachtet werden die Würfel, von denen drei Seitenflächen in den drei Koordinatenebenen liegen. Abbildung 3 zeigt einen dieser Würfel. Unter diesen Würfeln gibt es einen, bei dem ein Eckpunkt auf der Kante $\overline{CS}$ der Pyramide, aber weder in C noch in S liegt.

Berechnen Sie die Kantenlänge dieses Würfels und begründen Sie, dass kein Punkt dieses Würfels außerhalb der Pyramide liegt.